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지배 방정식을 구성하기에 앞서 중요한 가정이 필요하다. 우선 단면적 변화가 없는 이상기체의 일차원 유동으로 운동량 및 에너지 손실이 없다고 가정한다. 스프레이 유동은 액적과 기체 유동 사이 항력이 있기에 운동량 손실이 필연적이지만 Pelton과 Willbanks[1]과 같이 손실은 없다고 가정한다. 지배 방정식은 질량, 운동량, 에너지 방정식으로 구성된다. 입구에 기체 유동만 있다고 가정한다. 만약 스프레이 분사가 여러 단계이면 단계별 해석이나 적분식이 필요하지만 본 연구는 아래 Fig. 1과 같이 한 번의 분사에 완전한 상평형이 된다고 가정하였다. 지배 방정식은 Eq. 1, 2, 3에 제시하였다.

Fig. 1 
Schematic of 1D duct flow with water spray.

nc는 불응축(non-condensible) 기체를, v는 수증기를, w는 액체상태의 물을 의미한다. m˙은 유량을, A는 단면적, V는 속도, h_t는 단위질량당 총엔탈피를 뜻한다. 첫 번째 상태 (1)이 주어지고 엔탈피는 온도만의 함수로 가정하면 미지수는 mv2˙, mw2˙, p₂, V₂, T₂, V_w2, T_w2의 7개가 도출된다. Pelton과 Willbanks[1]의 경우 V_w2는 V₂로, T_w2는 T₂와 같다고 했으며, Im et al.[2]에서 V_w2는 0으로, 온도는 임의로 설정하여 미지수 개수를 5개로 줄어든다. 그렇다 하더라도 미지수 5개에 방정식이 3개에 불과하기에 추가의 방정식이 필요하다. 요구되는 방정식은 질유량식과 수증기 포화관계식에서 구할 수 있다.

질유량식을 이용하기에 앞서 우선 상태 방정식을 통해 변수 간의 관계식을 정리한다. 상태 방정식 p=ρRT에서 분압에 따른 p_i=ρ_iR_iT을 적용하여 불응축 기체 mnc˙의 전후 상태 방정식을 나누면 Eq. 4를 얻는다.

불응축 기체의 질유량은 보존되므로

이 성립한다. 한편 달톤의 분압법칙을 적용하면 질유량과 압력 사이의 관계식을 구할 수 있다.

따라서 mv2˙는 p₂로 표현할 수 있다.

Eq. 7에서 W는 분자량을 의미하며, Eq. 5와 7은 기체의 포화 여부에 상관없이 적용된다.

포화증기에 대해서는 기체 내에 일정한 수증기 이상을 포함할 수 없다는 포화증기 관계식이 적용된다. 여러 관계식이 있지만 본 연구는 포화 압력 p_v가 임계압력 p_c의 비로 표현되고 275 K에서 임계온도 T_c까지 유효한 식을 적용하였다[5].

A=-7.76451, B=1.45838, B=-2.77580, D=-1.23303이다. 포화증기 관계식의 적용은 2.3절에서 설명한다.

이로써 5개의 방정식과 5개의 미지수를 구할 수 있다. 다만 포화증기 관계식은 포화된 상태에서만 성립하므로 혼합기의 포화 여부를 우선 판단하여야 한다.

냉각수 유량이 적으면 응축 없이 증발 잠열에 의한 냉각만 있으므로 mw2˙는 0이 된다. 방정식과 미지수가 각각 하나씩 줄어든다. 앞서 언급한 지배방정식 (1)-(3)은 다음 세 식으로 정리된다.

질량분율을 알기 때문에 Eq. 9가 성립하고 이를 Eq. 5에 대입하면 Eq. 10과 같이 V₂는 p₂로 표현할 수 있다.

Eq. 1a와 Eq. 10을 2a에 대입하면 p₂에 대한 2차 방정식 Eq. 11이 유도된다.

먼저 T₂를 가정하면 p₂를 구할 수 있고, p₂를 Eq. 3a에 대입하여 T₂를 구한다. T₂를 다시 Eq. 11에 대입하여 p₂를 구하는 과정을 반복하는 방식으로 압력과 온도를 구한다. 엔탈피는 화학종의 비열이 온도의 함수로 표현되는 NASA 다항식[5]을 적용하므로, 에너지 방정식 (3a)는 T에 대한 고차 다항식이 되어 구간 이분법으로 구했다. 다만 Eq. 11은 이차방정식이라 p₂가 항상 존재하는 것은 아니다. Pelton과 Willbanks[1]도 언급했지만, 해가 없는 구간은 비물리적인 상황에서 발생한다.

응축되는 현상은 기체가 포화되었을 때이다. 지배 방정식 (1)-(8)는 응축까지 포함한다. 다만 입구 유동은 포화되지 않았다는 가정이다. 해석 대상이 고온 기체이므로 이 가정은 타당하다. 응축수가 발생하면 mw2˙가 존재하며 출구의 기체 상태는 포화상태이어야 한다. 출구 기체의 포화 여부는 일단 포화되지 않았다고 가정하여 수증기압 p_v2이 포화 압력 f(T₂)보다 크거나 평형온도가 100 ℃보다 작으면 포화되었다고 판단한다. 기체가 포화되면 Eq. 8의 p_v2 = f(T₂)식이 적용된다. T_w2와 V_w2는 다양한 경우에 대응하기 위하여

로 가정한다. 응축수가 기체 속도보다 빠를 수 없으므로 0≦β<1이며, 고온 가스에 노출된 냉각수의 온도 상승을 고려하면 z>0 이어야 한다. 이를 고려하면 지배 방정식 (2)와 (3)은 다음과 같이 기술된다.

β=1인 경우 참고문헌[1]의 출구의 운동량 평형 (kinetic equilibrium), z=0이면 열평형 (thermal equilibrium)에 해당한다. Pelton과 Willbanks[1]는 Eq. 12와 13을 포함하여 해석하지 않았다. 그러나 운동량 평형상태에서 운동량 방정식의 각 항의 값을 분석하여, 냉각수 유량이 불응축 기체의 5배 이내면 응축수 출구 속도의 영향이 6% 이내의 오차라 밝혔다. 다만 응축수 온도와 관련하여 z는 큰 영향을 끼친다고 밝혔다.

해석 방법은 우선 T₂를 가정하여 운동량 방정식으로 p₂를 구하고 에너지 방정식을 풀어 다시 T₂를 방식으로 반복적인 작업을 수행하면 된다. 운동량 방정식 (2b)를 풀려면 p_nc2나 mv2˙가 필요하고 Eq. 7과 8을 같이 적용한다. Eq. 5에서 V₂는 p_nc2로 표현된다. Eq. 1을 이용하면 Eq. 2b의 우변은 아래와 같이 p₂와 V₂로 표현되고 Eq. 5를 대입하면 p₂의 이차방정식으로 표현된다.

위 식에 포함된 미지수는 p₂와 mv2˙이지만 mv2˙가 p₂로 표현하는 Eq. 7을 적용하면 운동량 방정식은 순수한 p₂만의 함수가 된다.

위 식의 좌변은 상수이므로 우변만 보면 p₂의 3차 방정식이 된다. 이 점이 Pelton과 Willbanks[1]의 방정식과 다르며, 응축수 속도 V_w2와 온도 T_w2의 영향을 수치적으로 분석할 수 있다. β=1인 경우 p₂의 2차 방정식으로 바뀌고 이는 Pelton과 Willbanks[1]과 같다. T₂를 가정하여 Eq. 15에서 p₂를 구하고 에너지 Eq. 3b에서 T₂를 구하는 과정을 반복하면 p₂와 T₂를 구할 수 있다.

개발된 코드의 유효성을 증명하고자 AEDC의 해석결과[1]와 AEDC의 시험 결과[8]를 비교하였다. AEDC의 해석을 위한 입력 조건은 Table 1과 같다. 하지만 계산에 필요한 물성치 W_nc, mv˙가 제시되지 않았다. 이에 화학평형 코드인 NASA CEA(Chemical Equilibrium with Applications) [7]를 이용하여 압력을 AEDC의 해석조건과 같은 0.345 bar로 고정하고 1510 K가 나오는 항공유 Jet A-1과 공기의 혼합비를 구하였다. 계산된 혼합비는 29.237이며 Table 2의 조성과 입구 조건을 구했다. 유량을 맞추기 위한 단면적도 계산하여 0.039m²를 구했다.

Table 1과 2의 조건으로 계산을 수행하여 Figs. 2와 3에 냉각수 온도가 변했을 때, 출구 압력과 출구 온도의 변화를 비교하였다. Pelton과 Willbanks[1]의 엔탈피 계산 방식을 알 수 없기에 비열을 상수로 계산한 경우와 NASA 다항식으로 계산한 경우를 AEDC 해석 결과와 비교하였다. 두 경우 모두 유사한 결과값과 경향성을 보였다. 출구 압력은 NASA 다항식의 비열을 사용할 때 AEDC 결과에 근접하고 출구 온도는 상수의 비열 계산 결과가 근접하였다. 이후 계산에는 압력이 정확해 보이는 NASA 다항식을 적용하였다.

Fig. 2 
Exit pressures as coolant water temperature at AEDC case.

Fig. 3 
Exit temperatures as coolant water temperature at AEDC case.

AEDC의 시험[8]은 관 내부에 길이 방향의 여러 위치에서 냉각수를 분사하며 압력과 온도를 측정하였다. 이는 유동의 끝에서 측정한 Fig. 1과 다르지만, 측정 위치까지의 냉각수 유량을 전체 냉각수 유량으로 간주하여 계산하여, 그 결과를 시험과 비교하였다. 시험 조건은 Table 3과 같고 화학종 분포는 Table 2를 적용하였다.

측정 지점이 냉각수 분사 지점과 가까워 증발과 응축의 비평형 현상이 있음에도 불구하고 Fig. 4와 같이 시험 결과와 비교적 일치하였다. 따라서 개발된 코드는 물리적으로 타당하며, 실제 시험설비를 설계할 때 충분히 활용될 수 있을 것이다.

Fig. 4 
Exit pressures as coolant water rate at AEDC test[8].

개발된 코드로 냉각수에 의한 출구 유동의 특성 중 Pelton과 Willbanks[1]가 고려하지 않은 V_w2의 영향을 계산하였다. 참고로 Pelton과 Willbanks[1]은 V_w2 = V₂로, Im et al.[2]은 V_w2 = 0으로 가정하였다. 보통 시험설비는 응축수를 회수하지만, 응축수가 전량 회수되지도 않거니와 기체와 함께 전량이 배출되지 않기에 두 경우의 중간에 해당한다고 볼 수 있다. 계산은 Pelton과 Willbanks[1]의 분석 조건을 따랐으며 결과는 Fig. 5에서 Fig. 8까지 나타냈다. 참고로 Pelton과 Willbanks[1]는 냉각수 온도 316.67 K에서 냉각수비 15까지만 해를 구했다.

Fig. 5에서 응축수 속도가 0이면 냉각수 온도에 상관없이 냉각수 유량이 증가하면 출구 압력이 증가한다. 냉각수 분사 속도가 출구 압력에 미치는 영향은 거의 없다. 반면 응축수가 기체 속도로 배출되면 냉각수 온도의 영향이 커져서, 냉각수 온도가 높으면 (Tw1=316.67 K) 출구 압력이 계속 낮아지고 그렇지 않으면 출구 압력은 서서히 높아진다.

Fig. 5 
Exit pressures as coolant ratio with different condensed water velocity.

Fig. 6에서 냉각수 유량이 증가할수록 출구 온도가 낮아지고 냉각수 온도가 낮으면 더 낮아진다. 특히 냉각수 온도가 높지 않은 경우(Tw1=277.78, 294.44 K) 응축수 출구 속도가 출구 온도에 미치는 영향은 미미하고, 냉각수 온도가 높더라도 (Tw1=316.67 K) 출구 온도의 차이가 5 K 정도로 크지 않다. 이는 엔탈피에서 차지하는 운동 에너지 성분이 작기 때문이다.

Fig. 6 
Exit temperatures as coolant ratio with different condensed water velocity.

Fig. 7의 출구 속도를 Table 1의 입구 조건과 비교해보면 기체는 입구 속도 146.3 m/s에서 감속되지만, 응축수는 분사 속도 30.5 m/s에서 냉각수 비에 따라 가속되거나 감속된다. 냉각수 유량이 증가할수록 출구 속도가 느려지는 게 공통적이지만, 온도 316.67 K인 냉각수는 냉각수 비가 12보다 커지면 출구 속도가 다시 빨라진다. 이는 Fig. 5의 출구 압력이 가파르게 낮아지는 경우와 같은데, 이 구간에 대하여 Pelton과 Willbanks[1]는 비물리적인 상황이라 판단한 것인지 해를 제시하지 않았다.

Fig. 7 
Exit velocities as coolant ratio with different condensed water velocity.

속도가 다른 두 유체의 혼합에 대하여 이젝터 일차원 해석[9]과 같이 혼합 과정의 운동량 손실을 효율 계수로 표현하면 실제와 가까워지거나 비물리적인 현상을 제거할 수 있을 것이다. 다만 앞의 계산과 같이 냉각수 온도가 316.67 K 같이 고온인 경우도 없고 냉각수 유량이 입구 유량 대비 10 이상인 경우도 거의 없으므로 실제 적용에는 문제가 없을 것으로 사료된다.

Fig. 7에서 중요한 것은 냉각수 온도가 낮으면(Tw1=277.78) 출구 기체 속도가 냉각수 분사 속도보다 낮아진다는 점이다. 같은 유량의 냉각수라도 온도가 낮으면 출구 속도가 더욱 낮아지는 데, 분출 속도가 느릴수록 소음도 감소하기에 시험설비의 소음 문제에 냉각수 온도가 매우 중요하다는 것을 알 수 있다.

터보제트 엔진이나 로켓 엔진 시험에서 냉각수 분사는 온도를 낮추는 것이 우선이지만 고공 조건 시험에서 이젝터 구동을 위해 수증기 성분을 제거해야 한다. 수증기 성분 제거에 냉각수 온도가 미치는 영향이 Fig. 8에서 명확히 보인다. 검정 직선으로 표현된 입구 기체 성분이 냉각과 응축을 거친 후 기체 성분 (mNC2˙+mv2˙)이 냉각수 온도가 낮을수록 확연히 감소한다. 이는 응축수 속도에 무관하게 나타난다. 같은 양의 수증기를 제거하는 데, 냉각수 양보다 냉각수 온도가 더 중요한 역할을 한다. 예를 들어 기체 성분을 0.5 kg/s까지 감소시키려면 냉각수 온도 277.78 K에서 냉각수 비 10.5 정도이지만 냉각수 온도가 294.44 K이면 냉각수 비 20 이상이므로 두 배 이상의 냉각수가 필요하다. Fig. 8은 냉각수 온도가 매우 중요하다는 것을 밝힌다.

Fig. 8 
Exit gas mass flow rates (mNC2˙+mv2˙) as coolant ratio with different condensed water velocity.

Im et al[2]의 해석은 AEDC [1]와 달리 냉각수 유량비가 낮아 포화되지 않는 경우도 해석하여야 한다. 제공된 입구 조건은 온도, 압력, 질유량, 냉각수 온도이고 운동량 방정식을 풀지 않아 속도 조건이 없다. AEDC와 마찬가지로 입구 기체의 조성도 포함되지 않았다. 제공된 입구 조건은 Table 4과 같다. 냉각수 유량이 30 kg/s까지 계산했는데, 유량비 (mw1˙/mNC˙)는 1.2에 불과하다.

계산을 위해 입구 기체의 조성은 AEDC와 같고, 입구 속도는 100 m/s로 냉각수 속도는 15 m/s로 가정하여 그에 따른 단면적을 구했다. Im et al.[2]은 공급된 냉각수의 95%만 증발 과정에 참여한다고 가정하였기에 본 연구도 냉각수의 95%만 변환 과정에 참여하는 계산을 수행하였다. 해석 결과는 냉각수 유량에 따른 출구 온도, 출구 압력, 응축수 유량을 Fig. 9에서 Fig. 11까지 비교하였다. 다만 Im et al[2]의 결과는 그림에서 추출한 것이라 약간의 차이가 있을 수 있다.

Fig. 9에서 두 계산은 출구 온도는 포화가 발생하는 냉각수 유량 14 kg/s까지 증발 냉각에 의해 급격히 떨어지지만, 포화가 되면 거의 일정한 온도를 보인다. 그런데 포화된 이후의 온도를 자세히 보면, Im et al.[2]은 약 10℃ 상승한 후 변화를 보이지 않지만, 본 연구는 냉각수의 증가와 함께 온도가 천천히 낮아진다. 분사되는 냉각수 온도가 낮기에 냉각수가 증가하면 출구의 기체 온도가 낮아지는 것이 물리적으로 타당하다고 판단된다.

Fig. 9 
Exit temperature as coolant water at im et al.’s case.

운동량 방정식의 영향은 Fig. 10에서 명확히 확인된다. Im et al.[2]은 포화될 때까지 입구 압력의 절반까지 감소하지만 본 연구는 큰 변화 없이 일정하다. 앞서 살펴본 바와 같이 냉각수 분사는 압력을 크게 변화시키지 않으므로 Im et al.[2]은 압력 계산에 오류가 있는 것으로 사료된다.

Fig. 10 
Exit pressure as coolant water at im et al.’s case.

응축수 결과는 Fig. 11에서 차이를 비교하였다. 냉각수가 포화하지 않아도 Im et al.[2]은 응축수가 발생하는 데, 이는 이미 Im et al.이 냉각수의 5%가 증발 과정에 참여하지 않는다고 가정했기 때문이다. 냉각수 공급량이 15 kg/s을 넘으면 응축수가 급격히 증가하는 것은 두 해석이 같지만, 본 연구 결과의 응축수가 Im et al.[2]보다 많다. 달리 말하면, Im et al.[2]의 기체 성분에 본 연구의 계산보다 더 많은 수증기를 포함하고 있다는 의미이다. 그런데 기체가 포화되면 Eq. 8에서 계산된 포화 압력 이상의 수증기를 포함할 수 없다. 따라서 Figs. 10과 11에서 압력이 낮은 데 더 많은 수증기를 포함하고 있다는 결과는 물리적으로 타당하지 않다고 판단된다.

Fig. 11 
Condensed water as coolant water at im et al.’s case.