발간 현황

덕트 내부 유체의 이너턴스(inertance)인 I와 레지스턴스(resistance) R을 고려하고 유체를 압축성으로 가정하였을 때 컴플라이언스(compliance)인 C의 역수를 의미하는 강성(stiffness) K를 포함하는 식은 Eq. 1, 2와 같다.

유체를 비압축성으로 가정할 경우, 덕트의 모델을 Fig. 2와 같이 나타내었다. 덕트의 형상이 곡선이고 균일하지 않으며, 강체이고 움직이는 모델일 때 덕트 내 유체가 비압축성으로 1차원적인 흐름을 가지는 것을 표현하였다.

Fig. 2 
Scheme of the formulated incompressible duct element.

Fig. 2를 바탕으로 피드라인 내의 유체가 비압축성일 때 정식화된 식을 구하기 위해 Eq. 1에서 Eq. 2를 삭감하였다. 이 때 강성 K의 항이 제거되고, 덕트의 입구와 출구에서의 중량변위 w가 같다고 가정하면 Eq. 3과 같이 구해진다. Eq. 3에서 우변의 첫 번째 항과 두 번째 항은 덕트가 움직이지 않을 때 덕트 내 유량의 섭동에 의한 압력의 차이를 의미하고 우변의 세 번째 항은 덕트 내부의 유체가 얼어붙어(frozen-in-place) 덕트의 구조물과 함께 움직임을 가정할 때 덕트 가속도에 의해 발생하는 압력 차이를 의미한다.

유체가 비압축성일 때 압력과 중량변위의 섭동에 의해 덕트에 외력이 가해진다.

균일하고 직선 형상의 덕트의 경우 Ai=Aj=A,N¯i=N¯j=N¯,H¯=LN¯이므로 Eq. 4에 대입하면 Eq. 5와 같이 얻을 수 있다. 덕트의 외력은 마찰력에 의한 힘과 덕트 내의 얼어붙은 것으로 가정한 유체의 관성력에 의한 힘으로 이루어진다.

탱크 출구 요소에서 Fig. 3에서의 i지점과 같이 탱크와 공급계가 접하는 부분에서는 유량의 섭동에 따른 압력변화 뿐만 아니라 섭동압력과 구조모드의 가속도 관계를 파악하는데 중요하다.

Fig. 3 
Scheme of the formulated tank outlet.

Eq. 6은 탱크 출구의 압력에 대한 식을 나타낸 것이다. 우변의 첫 번째 항은 유량을 무시한 구조모드만의 압력변화를 의미하고, 두 번째 항은 탱크 내에서 i지점까지 정상유동일 때 유체의 마찰효과를 선형화한 것이다. 그리고 세 번째 항은 정상유동이 아닐 때를 고려하여 추가되었다.

n차 구조모드에서 탱크 출구에 발생하는 모달 하중은 Eq. 7과 같다. 첫 번째 항은 탱크로부터의 유량 섭동 효과를 나타낸 것이고, 두 번째 항은 탱크 출구가 닫혀있는 것으로 가정하였을 때 결정되는 구조모드를 이용하여 구한 탱크 출구의 압력 하중을 의미한다.

펌프의 모델링은 크게 두 가지 부분으로 이루어진다. 첫 째로 펌프 블레이드 앞전에 생기는 공동(cavitation) 효과이고, 두 번째로 펌프 출구의 유체가 비압축성이며 여러 성능계수들이 선형범위 이내에 있다는 것이다.

Eq. 8에서 K_b는 공동 컴플라이언스(cavitation compliance) C_b의 역수를 의미하고, α는 질량흐름이득계수(mass flow gain factor)라 하여 인듀서(inducer) 입구에서의 받음각 섭동과 버블(bubble) 생산량의 비율에 따른 섭동사이의 비례로 가정한다. 또한 Eq. 9에서 m+1은 펌프이득(pump gain)을 의미하며 섭동진동실험을 수행하여 구하는 것이 가장 이상적인 값이다.

Fig. 4 
Scheme of the formulated pump.

펌프에 의해 발생하는 구조적인 힘은 오직 펌프 입구에서 공동(cavitation) 영역의 하류에 존재하는 비압축성 유동에 의해 발생한다. 그 때 발생하는 힘은 Eq. 10과 같다.

산화제와 연료가 인젝터(injector)의 오리피스(orifice)로부터 연소기로 분사된다. 이 때 Eq. 11을 보면 인젝터에서의 산화제, 연료 각각의 압력과 연소기 내의 압력 차이는 인젝터내 산화제, 연료 각각의 레지스턴스 R과 이너턴스 I로 표현된다.

산화제와 연료가 연소기 안으로 유입되었을 때 각각의 추진제가 연소실(chamber) 안에 머무르는 시간을 τ_d라 하고, 두 추진제가 섞이고 반응하여 연소되기 전까지의 시간을 τ_r라 할 때 연소시간 지연 τ_c는 τ_d와 τ_r의 합을 의미한다. 또한 R_ci는 선형화된 연소 레지스턴스(combustion resistance)를 의미한다.

Fig. 5 
Scheme of the formulated thrust chamber.

따라서 τ_c와 R_ci 항을 고려한 연소기의 압력식은 Eq. 12와 같다.

포고가 아닌 다른 현상에 의한 외력을 배재할 때[7] 연소기와 노즐에 의해 발생하는 추력은 Eq. 13과 같이 노즐 목의 넓이 A_t와 추력계수 C_f, 그리고 챔버의 압력 P_tc의 곱으로 이루어진다. 또한 우변의 ‘-’부호는 추력의 방향이 유동의 흐름과 반대이므로 정의된다. N¯k은 유동흐름방향을 의미한다.

포고 불안정성을 억제하기 위해 포고 억제기를 사용한다. Fig. 6은 기체 방식의 억제기로, 장치 내의 가스가 유연한 체적방식의 스프링(soft volumetric spring)역할을 하여 유압 진동수를 변화시킴으로써 구조의 진동모드와 추진/공급계의 동적 연성을 감소시키는 역할을 한다.

Fig. 6 
Scheme of the formulated accumulator.

포고 억제기를 비압축성 덕트로 가정하였을 때, 포고 억제기 출구압력인 P_j가 가스의 체적변화와 관련이 있기 때문에 P_j=Kw_i로 쓸 수 있다. 이 때 K는 가스의 강성을 의미한다. 따라서 Eq. 3의 출구압력 P_j를 Kw_i로 대체하면 Eq. 14와 같다.

Eq. 15를 살펴보면 구조상에서 특정 i지점의 물리적인 변위 벡터를 나타내는 r¯it는 n번째 모드의 변위 벡터를 의미하는 r¯nit의 모든 모드에서의 합이다. 이 때, r¯nit은 Eq. 15와 같이 각 모드에서의 모드 형상 벡터인 ϕ¯ni와 모달 변위인 q_n(t)의 곱으로 표현할 수 있다.

n차 모드에서의 운동방정식을 세우면 Eq. 16과 같다. 이 때 ω_n, ζ_n, M_n는 각각 모달 고유진동수, 임계 감쇠, 그리고 질량을 의미한다.

일반화된 가진력 Q_n(t)는 Eq. 17과 같이 n번째 모드의 i번째 요소에서 발생하는 벡터 힘 F¯it와 벡터 모달 변위인 ϕ¯ni의 내적값을 모든 요소에 대해 더한 값이다. 이 때 F¯it는 유체흐름, 연소 등에 의해 발생된다.

Oppenheim[5]은 정식화한 공급/추진계 요소의 방정식을 사용하여 우주왕복선의 공급/추진계 모델에 적용하였다. Fig. 7은 포고 억제기가 없는 단순화된 형상을 나타낸 것으로, 탱크 출구, 3개의 피드라인, 저압액화산소펌프(LPOP), 인터펌프 라인(interpump line), 고압액화산소펌프(HPOP), 디스차징 라인(discharging line), 인젝터 및 연소기 등 총 10개의 요소로 구성되어 있다[1]. 그리고 각 요소의 입구와 출구에 해당되는 위치에 총 9개의 노드를 설치하였다. 좌표계의 경우 tb, 1, 3, 4, 7번 좌표계를 사용하였다.Lehtinen[1]에서는 저압액화산소펌프의 입구와 출구가 4번 좌표계로 함께 표현되고, 인터펌프 라인부터 연소기까지 7번 좌표계로 표현된다.

Fig. 7 
Nodes and elements of simplified space shuttle propulsion system.

따라서 노드 4, 5의 경우에는 4번 좌표계, 노드 6, 7, 8의 경우에는 7번 좌표계를 공통적으로 사용하였다.

Fig. 7의 형상에서 피드라인을 흐르는 유체가 비압축성임을 가정할 때 Oppenheim[5]이 제시한 비압축성 덕트 요소로 피드라인을 해석하였고, Lock[2]에 따르면 인터펌프 라인과 디스차징 라인의 경우 파동의 전달 시간이 구조반응시간보다 상대적으로 짧기 때문에 라인 내부의 유체를 비압축성으로 가정한다. 따라서 두 라인 또한 비압축성 덕트로 구성하였다. 저압액화산소펌프와 고압액화산소펌프의 경우 펌프요소로 고려하고 나머지 탱크 출구와 인젝터 및 연소기는 Oppenheim[5]과 동일하게 적용하였다. 또한 Table 1에서 파라미터의 오른쪽 하첨자는 추진계 구성요소를 의미한다.

노드마다 지정된 추진계 구성요소에 대한 지배 방정식을 세우면 Table 2와 같다. 이 때 추진 시스템 x_p는 Eq. 18과 같이 총 17개의 변수를 갖는다.

구조계 시스템 x_s은 6개의 모드를 고려할 때 모달 변위 q의 개수 또한 6개이므로 시스템 변수는 Eq. 19와 같다.

앞서 Eq. 17에서 언급한 일반화된 가진력 Q_n(t)를 구하기 위해서는 n번째 모드에서 각 노드에 가해지는 외력과 모달 변형량을 곱해야 한다. 따라서 Q_n(t)을 식으로 나타내면 Eq. 20과 같다. 이 때 ϕ¯ab는 a번 좌표, b성분에서의 정규화된 모달 변위를 의미한다.

외력의 위치는 Fig. 8에 제시되어 있고, 각 노드에 작용하는 외력 수식은 Table 3에 정리하였다.

Fig. 8 
Forces exerted on each component in the simplified space shuttle propulsion system.

Lehtinen[1]에 제시된 우주왕복선의 공급/추진계를 정식화한 수식을 바탕으로 고유치 해석을 수행하였다. Fig. 9를 보면 파란색 점은 참고문헌[1] 내의 정식화된 공급/추진계 수식을 활용하여 MATLAB 프로그램으로 도출해낸 결과이고, 빨간색 원은 참고문헌[1]에서 수행한 고유치해석 결과이다.

Fig. 9 
Comparison of the eigenvalue estimations between the present and the existing study[1].

두 결과를 비교하였을 때 오차가 있음을 확인할 수 있다. 그 원인으로는 참고문헌[1] 내의 정식화된 공급/추진계 수식에 기록상의 오류가 존재하여 MATLAB으로 도출한 결과가 부정확하기 때문에 나타난 오차로 파악된다. 따라서 정확한 MATLAB 해석을 수행하기 위해서는 참고문헌[1] 내 수식의 오류를 수정하여야 한다. 하지만 계산과정에 대한 명확한 설명이 제시되어있지 않고, 누락된 계산 항이 존재하기 때문에 참고문헌[1]의 수식으로는 정확한 해석이 어려운 것으로 예상된다. Lehtinen[1]의 Table 7에 제시된 행렬식이 대표적인 기록적 오류로, 공급/추진계 정식화 과정에서 컴플라이언스, 레지스턴스, 이너턴스의 조합으로 구성되는 행렬항이 잘못된 수식을 구성하고 있다.

Oppenheim[5]으로 재구성한 우주왕복선 공급/추진계의 경우, 각 구성품마다 구체적인 정식화 과정이 제시되어있고 정식화된 절차가 명확하며, 수식에서 각 항이 의미하는 바를 알 수 있다.

또한 전체 공급/추진계를 2차 선형 미분 행렬 형태의 간단한 수식으로 구성하였기 때문에 고유치해석 과정이 간단하다. 따라서 해석값과 참고문헌과의 차이가 발생하였을 때 오류점검이 용이하다는 장점이 있다. 결과적으로, 본 논문에서 제시한 정식화 방법을 통해 발사체 공급/추진계의 쉽고 정확한 포고 불안정성 해석이 가능하다.