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고체 추진 기관의 설계 및 해석을 위한 내탄도 해석은 짧은 시간에 여러 가지 설계 변수들을 변화시키며 추진 기관의 내부 압력과 추력을 예측할 수 있는 해석 방법이다.

내탄도 해석을 간편화하기 위하여 연소 가스의 유동장은 1차원 등엔트로피 유동장을 가지고, 작동 유체는 이상 기체 법칙을 따른다고 가정하였다. 내탄도 해석은 연소 초기와 연소가 종료된 후 노즐이 아음속 유동장을 가지는 경우와 연소가 진행되어 노즐이 질식(chocking)된 후 가지게 되는 초음속 유동장을 모두 고려하였다. Eq. 1은 아음속 유동장인 경우 챔버 내부 압력 변화식이며, Eq. 2는 초음속 유동장인 경우 내부 압력 변화식이다.

두 경우의 수치해는 4차 Runge-Kutta 방법을 이용하여 구하였다. 내부 압력 변화를 확보한 후 출구 마하수와 출구 압력값을 계산하고 이를 이용하여 추력기의 추력 및 총역적 값을 계산하였다. Table 1은 사용된 추진제 가스의 물성값이다[10].

Fig. 4는 내탄도 해석을 통한 성능 예측 결과이다. 챔버의 최대 압력은 197 bar이었으며 최대추력은 3,836 mN이었다. 연소 시간은 230 µs였으며, 내탄도 모델의 총역적은 0.42 mN·s이다. 내탄도 해석을 통해 확보한 압력 곡선은 CFD 계산의 경계 조건으로 활용하여 보다 정확한 수치 해석 결과를 확보하려 한다.

Fig. 4 
Chamber pressure and thrust of internal ballistics model.

내탄도 해석을 통해 확보된 시간에 따른 압력 변화 결과를 입구 경계 조건으로 CFD 계산을 수행하였으며, 점성 효과 및 열손실 효과를 추가적으로 확인하여 추력기 성능 예측 연구를 수행하였다. CFD 계산은 검증된 상용프로그램 Fluent를 사용하였다. 추력기의 유동장 해석에는 질량보존 방정식, 운동량 방정식, 에너지 방정식 그리고 SST k-ω 난류모델이 사용되었으며 해석에 사용된 식들은 Eq. 3-7과 같다.

마이크로 노즐의 유동장 계산 시, 일반적으로 노즐 해석에 사용되는 난류 모델인 k-ε 모델을 사용하지 않은 이유는, k-ε 모델의 경우 벽면에서의 유동 특성을 잘 파악하기 힘들며, 별도의 벽면 함수를 사용한다. 일반적으로 벽면 함수를 사용하기 위해서는 격자 생성 시 첫 번째 격자의 y+ 값이 30보다 커야 한다. 하지만 마이크로 노즐의 경우 이 값이 상대적으로 너무 큰 값을 갖기 때문에 노즐의 중심 유동장까지 영향을 줄 수 있다. 이러한 이유로 벽면 경계층을 같이 풀 수 있는 k-ω 모델을 사용하였으며, 격자 생성 시 y+ 값이 3를 넘지 않도록 설정하였다. 해석에 사용된 격자는 Fig. 5와 같이 총 85,300개이며, 안정적인 계산을 위하여 외부대기영역의 높이를 노즐 목 반지름의 약 24배, 외부대기영역의 길이를 노즐길이의 약 30배로 설정하였다.

Fig. 5 
Computational domain.

작동유체는 내탄도 해석과 같은 물성을 사용하였으며, 이상 기체 상태방정식을 적용하였다. 또한 CFD 해석의 초기조건으로 압력 1 atm, 온도 300 K를 적용하였다. 입구 경계 조건으로 내탄도 해석에서 확보한 시간에 따른 압력 값을 주었으며 온도 조건으로는 추진제의 화염 온도인 1870 K를 사용하였다. 외부대기조건은 대기압력 1 atm, 대기온도 300 K를 사용하였다. 고체 영역의 경계조건은 감광 유리의 전도 조건을 사용하였다. 추력기에는 감광성 유리의 물성값을 적용하였으며, 비열은 878.6 J/kg·K, 열전도율은 1.4 W/m·K 이다. 마지막으로 비정상 상태 계산에서의 시간간격은 0.1 µs를 적용하였다.

마이크로 스케일의 노즐에서 점성이 추력에 미치는 영향과 열손실이 추력에 미치는 영향을 확인하기 위한 계산을 수행하였다.

열손실이 추력에 미치는 영향을 확인하기 위하여 추력기 내부 벽면을 단열로 가정하고 점성만 고려한 경우와 점성과 열전달을 모두 고려하한 두 가지 경우에 대해 계산을 수행하였다. 추력기 작동 시간인 230 µs 동안 해석을 수행하였다.

Fig. 6은 점성과 열전달을 모두 고려한 경우의 시간에 따른 마하수 분포이며, Fig. 7은 각각의 경우에 대한 추력 곡선이다. 해석 결과를 이용하여 추력과 총역적을 각각 계산해본 결과 점성과 열전달을 모두 고려한 경우 최대 추력은 3,242 mN, 총역적은 0.3557 mN·s 이었다. 그리고 열손실 효과를 확인하기 위하여 점성만 고려한 단열 모델의 경우 최대 추력은 3,264 mN, 총역적은 0.3578 mN·s 이었다.

Fig. 6 
Mach number contour.

Fig. 7 
Thrust as a function of time.

열손실을 고려하지 않은 경우와 고려된 두 경우 모두 유사한 유동장을 가졌다. 최대 추력과 총역적은 점성 효과만 고려되고 열손실을 고려하지 않은 단열 모델의 경우 내탄도 모델의 85.1%의 값을 가졌으며, 점성효과와 열손실 효과를 모두 고려한 경우 내탄도 모델의 84.5% 값을 보였다. 마이크로 스케일의 경우 면적대 체적비(surface/volume)가 매크로 스케일보다 큰 값을 가지기 때문에 열손실량이 상대적으로 큰 것으로 알려져 있지만 이 연구에서 사용된 추력기 모델의 경우 230 µs의 짧은 작동 시간으로 인하여 열손실 효과가 미비하였을 것으로 판단된다. 이 같은 수치는 마이크로 고체 추진제 추력기에서 점성 효과가 추력 손실에 가장 큰 영항을 주는 것을 의미한다.