발간 현황

변형률을 수명평가 인자로 고려하는 피로수명 평가식 중 가장 대표적인 관계식인 Coffin-Manson 식[16,17]은 Eq. 1과 같다.

위 식에서 σf’는 피로강도계수, b는 피로강도지수, ϵf’는 피로연성계수, c는 피로연성지수를 나타내며, Δϵ/2는 전 변형률 진폭(total strain amplitude), E는 탄성 계수 그리고 N_f는 파손 수명을 의미한다. Eq. 1을 통해 구리크롬 합금에 대해 구한 전 변형률 진폭과 수명 그래프 및 시험수명 대비 예측수명 그래프를 각각 Fig. 1 및 Fig. 2에 나타냈다. Fig. 1에서 피로수명이 500℃까지는 온도가 상승할수록 낮아지다가 이후에는 오히려 피로수명이 증가하는 것을 볼 수 있는데 이는 문헌[15]에서 언급한 바와 같이 400~500℃ 구간에서 크롬의 석출 경화로 인해 소성 변형률에 직접적으로 영향을 미치는 피로연성계수 및 피로연성지수가 Fig. 1의 온도별 변형률 진폭과 수명의 관계와 유사하게 Fig. 3과 같이 500℃까지는 감소하다가 이후에는 증가하기 때문이다. Fig. 2를 통해 확인할 수 있듯이 본 관계식에 의한 예측 피로수명(2N_f,est)은 시험 피로수명(2N_f,test)과 비교하여 분산범위(scatter band)의 2 이내에 모두 위치함을 알 수 있다.

Fig. 1 
Relations of life and total strain amplitude at various temperatures[10].

Fig. 2 
Comparison of test and estimated fatigue lives using Coffin-Manson relation.

Fig. 3 
Changes of fatigue ductility coefficient, exponent and elongation at various temperatures[10].

피로인자로 변형률 에너지를 이용하는 방법으로 가장 대표적인 것은 소성 변형률 에너지 밀도와 수명과의 관계를 나타낸 Morrow의 관계식[18]으로 Eq. 2와 같다.

이 식에서 Δω_p는 소성 변형률 에너지 밀도이며, m과 C는 재료 상수이다. 소성 변형률 에너지 밀도값은 일반적으로 반수명(half life) 시점의 히스테리시스 곡선의 내부 면적으로 정의된다. Eq. 2를 이용해 구한 소성 변형률 에너지 밀도와 수명과의 관계를 Fig. 4에 나타냈다. 이 그래프에서 볼 수 있듯이 소성 변형률 에너지 밀도를 피로평가 인자로 사용할 경우 Fig. 1에서 확인한 500℃ 이상의 온도에서 피로수명이 더 길어지는 현상은 나타나지 않았다. 본 관계식을 이용해 얻은 예측수명과 시험수명과의 비교 그래프를 Fig. 5에 나타내었다. 두 수명의 관계가 대부분 분산범위 1.5 내에 위치하여 Fig. 2의 경우보다 좀 더 개선된 것으로 보인다.

Fig. 4 
Relations of life and plastic strain energy density at various temperatures[10].

Fig 5. 
Comparison of test and estimated fatigue lives using Morrow relation.

변형률 에너지 밀도를 피로인자로 고려하는 다른 관계식으로 Golos 등[19]이 제안한 Eq. 3이 있다. 이 식은 변형률 에너지와 수명의 관계에서 변형률 에너지를 소성 변형률 에너지 밀도 외에 인장 탄성 변형률 에너지 밀도(Δωe+, Fig. 6 참조)를 함께 고려한 전 변형률 에너지 밀도를 피로인자로 고려한다. 일반적으로 수명이 비교적 긴 경우 히스테리시스 곡선의 내부 면적이 줄어들어 소성의 역할이 줄어들 때 상대적으로 탄성에 의한 피로파손 영향성을 반영할 수 있는 장점이 있는 방법이다. Eq. 3에서 제안된 전 변형률 에너지 밀도와 피로수명은 Eq. 4와 같은 관계를 갖는다. Eq. 4에서 m’과 C’은 재료 상수이다.

Fig. 6 
A typical hysteresis loop and the tensile elastic and plastic strain energy densities[14].

Eq. 4를 이용해 구한 전 변형률 에너지 밀도와 수명과의 관계를 Fig. 7에 나타냈다. 그리고 본 관계식을 이용해 얻은 예측수명과 피로수명과의 비교 그래프를 Fig. 8에 나타내었다. 소성 및 전 변형률 에너지 밀도와 수명의 관계에서 구한 재료 상수를 비교한 Fig. 9를 살펴보면 거의 유사한 것을 확인할 수 있는데 이는 문헌[15]에 언급한 바와 같이 본 시험에서는 모두 천이수명(N_t) 이전에 파손이 발생하여 수명 중 소성 변형률이 지배적인 역할을 하기 때문이다.

Fig. 7 
Relations of life and total strain energy density at various temperatures.

Fig. 8 
Comparison of test and estimated fatigue lives using Golos-Ellyin relation.

Fig. 9 
Comparison of material constants m and C acquired from PSED and TSED-life relations.

Smith-Watson-Topper(이하 SWT) 관계식[20]은 변형률 제어 하에 일정 진폭 변형률(ϵ_a)이 평균응력(σ_m)이 존재하는 상태에서 인가될 때, 수명 중 응력 최대값과 변형률 진폭의 곱, 즉 σ_maxϵ_a는 일정하다는 개념을 바탕으로 하여 Eq. 5와 같이 주어진다. 이 식은 Coffin-Manson 식(Eq. 1)의 양변에 Basquin의 관계식(σa=σf’2Nfb)을 적용한 것으로 계수 및 지수값은 Eq. 1과 동일하다. σ_maxϵ_a는 변형률 에너지로 고려할 수 있어 Eq. 5는 에너지를 피로인자로 고려하는 방법의 하나로 생각할 수 있다.

3.1절에서 구한 피로강도 및 연성계수 및 지수값과 Eq. 5를 이용하여 구한 SWT 파라미터와 수명과의 관계를 Fig. 10에 나타냈으며, 본 관계식을 이용해 획득한 예측수명과 시험수명과의 비교 그래프를 Fig. 11에 나타냈다. Fig. 11을 살펴보면 모든 예측수명이 분산범위 2 이내에 위치하나 앞 절의 방법을 이용해 구한 경우보다는 다소 분포가 벌어진 것으로 보인다.

Fig. 10 
Relations of life and SWT parameter at various temperatures.

Fig. 11 
Comparison of test and estimated fatigue lives using SWT relation.

Tomkins[21]는 균열진전 모델을 이용하여 저주기 피로수명 평가 관계식을 Eq. 6과 같이 제시하였다.

이 식은 재료상수가 C_T 한 개로 간편히 적용할 수 있다는 장점이 있으나, Tomkins가 제시한 파라미터(Δσ²Δϵ)와 피로수명(N_f)이 log-log 그래프에서 항상 –1의 기울기 관계를 가져야 한다는 단점이 있다. Lee 등[22]은 이를 개선하여 Eq. 7과 같이 제시하였다. 이 식에서 n도 재료상수로 이를 통해 Eq. 7은 앞서 다룬 변형률 에너지-수명의 관계식과 유사한 형태가 된다.

위 식을 이용하여 Tomkins 파라미터와 수명의 관계를 Fig. 12와 같이 나타냈다. 그래프를 통해 500℃ 이상의 고온 시험 데이터에 대해 파라미터와 수명과의 관계가 앞서 검토한 모든 관계식보다 명확히 구분되는 것을 알 수 있다. 그리고 본 관계식을 이용해 얻은 예측수명과 시험수명과의 비교 그래프를 Fig. 13에 나타내었는데 그 경향성은 다른 경우와 유사한 것으로 보인다.

Fig. 12 
Relations of life and Tomkins parameter at various temperatures.

Fig. 13 
Comparison of test and estimated fatigue lives using Tomkins relation.

Jahed 등[23]은 다축 피로를 변형률 에너지 밀도로 표현할 경우 순수 인장 조건을 상위 한계(upper limit), 순수 전단 조건을 하위 한계(lower limit)로 하는 범위 내에 수명이 위치한다고 고려하였다. 제안된 관계식은 순수 인장의 경우 Eq. 8과 같은데 이는 인장 탄성, 소성, 전 변형률 에너지 밀도값을 이용하여 논리적으로 Coffin-Manson의 변형률-수명 관계식(Eq. 1)의 형태로 나타낼 수 있다는 개념을 바탕으로 제시되었다.

여기서 ΔE_A는 순수 인장일 때의 전 변형률 에너지 밀도, Ee’와 Ef’은 각각 인장 피로강도계수와 인장 피로인성계수(fatigue toughness coefficient)를, B와 C는 재료상수로 각각 피로강도지수와 피로인성지수를 의미한다. 각 계수와 지수는 도식적으로 Fig. 14와 같은 의미를 갖는다. 본 관계식은 전 변형률 에너지 밀도를 수명 계산에 사용하기 때문에 두 인자의 관계는 Fig. 7과 동일하다. Eq. 8을 이용해 획득한 예측수명을 시험수명과의 비교를 위해 Fig. 15와 같은 그래프를 도시하였다. 정성적으로는 다른 방법들과 거의 유사한 결과를 얻었다.

Fig. 14 
A typical energy-life curve in pure tension and corresponding energy-based properties[18].

Fig. 15 
Comparison of test and estimated fatigue lives using Jahed-Varvani relation.

총 6가지의 관계식을 이용하여 구리크롬 합금에 대한 피로수명을 평가한 결과 모든 경우에서 분산범위 2 이내의 우수한 결과를 얻었다. 이를 정량적으로 비교하기 위해 2가지 지표를 계산하였다. 첫 번째는 분산범위 내 예측수명이 몇 개나 위치하는지 비율을 확인하였고, 두 번째는 시험수명에 대해 예측수명이 얼마나 떨어져 있는지에 대한 지표로 RMSLE(root mean squared logarithmic error)를 계산하는 것이다. Eq. 9와 같이 계산되는 RMSLE 값을 Eq. 10에 적용하여 구한 T_RMSLE 값은 하나의 관계식으로부터 구한 전체 예측수명이 시험수명으로부터 어느 정도나 분산되어 있는지에 대한 표준편차 개념으로 고려할 수 있다. 이 값은 예측수명이 시험수명과 모두 일치할 경우 1을 나타내며, 1에 가까울수록 예측 정확도가 우수하다고 할 수 있다.

Table 1에 결과를 정리하였다. 표의 값 중 굵은 글자 및 밑줄로 표기한 값이 6가지 항목 중 가장 우수한 값을 의미한다. 피로수명 평가에 적용한 6가지 방법 모두 분산범위 2 이내에 예측수명이 위치하였다. 분산범위를 좀 더 좁혀서 고려하면 1.2 범위 내에는 전 변형률 에너지 밀도를 이용한 방법이 가장 우수하였으며, 분산범위 1.3부터 TSED, PSED, JV 법이 동일하게 가장 우수한 결과를 얻었고, 이 세 방법은 분산범위 1.5 내에 모든 예측수명이 위치하였다. 이 세가지 방법은 모두 변형률 에너지 밀도를 피로인자로 고려하는 방안인데, SWT 법을 제외하면 피로인자로 이를 이용하는 방안이 다른 방안보다 우수한 결과를 나타내어 변형률 에너지 밀도를 피로인자로 고려하는 것이 시험 재질에 좀 더 적합한 것으로 예상된다. T_RMSLE 값을 기준으로 TSED, JV, PSED 순으로 우수한 결과를 얻었는데, TSED와 JV 법은 변형률 에너지를 적용함에 있어 소성항 외에 탄성항을 고려하였다. 이는 시험재질이 3.2절에서 언급한 바와 같이 소성이 지배적인 역할을 한다고 하더라도 탄성의 영향을 고려하면 예측수명의 정확도가 상승할 수 있음을 나타낸다고 하겠다.