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고체추진기관의 내탄도 해석을 수행하기 위해서는 추진제의 연소에 의해 발생하는 연소가스의 특성치가 필요하며 이는 화학평형계산에 의해 산출될 수 있다. 이종 추진제의 연소에 의한 연소가스의 특성치를 산출하기 위하여 각 추진제에 대한 연소가스 특성치를 산출하고 내탄도 해석이 진행되는 시간단계별 각 추진제의 질량비율에 따른 연소가스의 등가 특성을 산출하였다. 우선 각 추진제의 연소가스는 발생 즉시 균일하게 혼합된다고 가정하였으며 혼합가스의 분자량(Mw_mix)과 정압비열(Cp_mix)을 계산하였다. 이를 기반으로 이상기체로 가정하여 각 생성되는 연소가스의 질량비율에 따른 혼합가스의 상태량을 산출하고 내탄도 해석에 적용하였다. 추진제의 연소가스는 고온의 점성이 매우 적은 기체로 일반적으로 이상기체로 해석을 수행해도 충분한 정확도를 가지고 있으며 일반적으로 고체 추진기관의 성능계산 시 이상기체로 가정하여 계산을 수행하고 있다[2].

Eq. 1은 혼합가스의 분자량을 나타내며 Eq. 2는 혼합가스의 정압비열을 나타낸다.

여기서 m˙은 추진제 연소에 의한 연소가스의 단위시간 당 발생량으로 Eq. 3과 같이 계산된다. 아래첨자 1, 2는 임의의 추진제 종류를 나타낸다.

ρ_p는 추진제 밀도, r는 연소속도, A_b는 추진제의 연소면적이다.

위에서 산출된 혼합가스의 분자량 및 정압비열로 연소실내 혼합가스 온도(T_mix)를 Eq. 4와 같이 에너지평형에 의하여 온도로 산출하였으며 혼합가스의 기체상수는 (R_mix)는 Eq. 5, 비열비(γ_mix)는 Eq. 6과 같이 산출하였다. 여기서 R_u 는 보편기체상수(universal gas constant)로 8.31432 J/mol • k의 값을 갖는다.

고체추진기관의 내탄도 해석을 위한 지배방정식의 유도는 아래 Eq. 7의 이상기체상태 방정식을 이용하였다.

여기서 P는 추진기관 연소실압력, V_c는 연소실의 최초 내부 공동 부피(free volume), m은 연소실 내의 연소가스 질량을 나타낸다.

지배방정식의 유도를 위해 Eq. 7을 시간에 대하여 미분하고 식의 간략화를 위하여 계산에 미미한 영향을 주는 추진제의 연소에 의한 부피증가율을 무시하고 정리하면 아래 Eq. 8과 같다.

연소실 내의 연소가스 질량변화율(m˙)은 각 추진제의 연소량과 노즐에 의한 배출량으로 나타내면 Eq. 9와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 A_t는 노즐목의 단면적을 나타내며 Cmix*는 혼합가스의 특성속도로 위에서 산출된 혼합가스의 상태량을 사용하여 아래 Eq. 10을 이용하여 계산하였다.

위의 Eq. 9를 이용하여 압력, 프리볼륨 등 초기값을 입력하고 4차 Runge-Kutta 방법으로 Eq. 9의 미분방정식을 계산하여 각 시간단계별 압력을 산출하였다.

각 시간대별 압력이 산출되면 이를 이용하여 추력을 아래의 Eq. 11을 이용하여 계산하였다. 여기서 F는 추력, P_e는 노즐 출구압력, P_a는 대기압력, A_e는 노즐의 출구면적을 나타낸다[2].

본 논문에서 고려한 내탄도 해석 이론의 경우 각 시간단계를 정상상태를 가정하여 계산을 진행한다. 그러나 고체 추진기관의 연소초기의 거동은 내부 유동이 잘 발달되지 않은 비정상상태가 되어 상기의 이론으로는 이를 예측할 수가 없으나, 연소초기 급격한 압력상승 구간을 제외하고는 정상상태에 부합하여 특이한 경우를 제외하고는 내탄도 해석으로 전체 성능을 예측하기에 문제가 없을 것으로 판단된다.

이종추진제를 적용한 이중 추력형 고체 추진기관에 대한 내탄도 해석을 수행하기 위하여 위에서 정의한 바와 같은 이론을 적용하여 Matlab 프로그램을 이용하여 Fig. 2와 같이 내탄도 해석코드를 생성하였다. 이종추진제가 적용된 내탄도 해석을 위한 입력변수는 Table 1에 정리를 하였다. 여기서 각 추진제의 특성치는 Table 2와 같이 입력하였고 추진제 그레인의 형상은 추진제 연소방향의 두께에 따른 연소면적을 행렬형태로 각각 입력하였다.

Fig. 2 
Internal ballistics analysis code.

설계특성 중 초기압력 및 초기볼륨은 계산의 초기 값으로 사용되나 연소초기의 경우 경험적으로 조정하여 사용할 필요가 있다. 위에서 설명한 바와 같이 본 논문의 내탄도 해석으로는 점화기 작동 후 연소실 내에 연소가스가 생성되어 어느 정도 압력이 상승하는 구간의 연소초기 거동을 모사할 수가 없다. 특히나 추진제의 발생량 대비 아주 큰 공동부피를 갖는 경우는 전반적인 성능예측에 영향을 줄 수가 있다. 이러한 경우는 다중펄스류 추진기관의 2단 추진제 연소에 의한 내탄도 해석을 수행하는 경우가 될 수 있다. 이러한 경우에는 초기 공도부피를 실제형상보다는 더 작은 값으로 입력하여 해석을 하는 것이 전체적인 성능예측에 더 부합한다. 내탄도 해석결과를 확인 후 초기 압력상승이 현실과 많이 다르다면 초기 공동부피의 값을 실제보다 더 작은 값으로 입력하면 더 좋은 결과를 얻을 수 있다.

초기압력의 경우는 약 100 psia의 수준으로 입력을 하면 일반적으로 문제가 없으며 점화기의 설계 시 점화제 약량설정도 거의 이 수준으로 결정된다. 위에서 언급된 초기값은 압력상승 초기의 거동에만 많은 영향을 준다. 압력상승 시간은 추진기관의 작동시간에 비하여 매우 적어 초기값이 고체추진기관의 전반적인 성능예측에 큰 영향을 주지 않는다.

위에서 개발된 내탄도 해석 프로그램을 검증하기 위하여 모타를 설계하고 연소시험을 수행하였다. 이 모타는 간단한 형상으로 이론에 잘 부합하고, 각 추진제의 연소속도의 차이가 크며, 두 추진제의 연소패턴이 독립적으로 일어나도록 설계하였다. 이렇게 설계한 모타는 Fig. 3과 같다. 이 형상은 직경이 6인치인 연소관에 중립형 형상을 갖는 실린더형의 추진제 그레인을 갖고 있으며 두 추진제 사이에 라이너를 위치시켜 접착하였다. 부스터 연소종료 후 노출되는 연소관 내면의 유동속도를 낮추기 위하여 부스터 추진제를 전방에 배치하였다. 이는 연소가스에서 연소관으로 전달되는 열량을 감소시켜 열적인 안전성을 향상시킨다. 노즐목 내열재는 비교적 저렴하고 소재수급이 용이한 그래파이트(graphite)를 사용하였으며 삭마에 의한 노즐목 면적을 최대한 유지하고자 노즐목 최소직경 부분을 길게 설계하였다. 모타의 전방마개와 노즐은 체결링을 이용하여 조립하였으며 전방마개에 압력측정용 배관 연결구를 설치하였다.

Fig. 3 
Concept of The Verification Motor.

연소관에 부스터 추진제의 무게를 측정하며 1차 충전하고 경화 후에 라이너를 표면에 도포하고 서스테이너 추진제를 2차로 충전하여 제작하였다.

Fig. 4와 같이 내탄도 해석 프로그램을 검증하기 위한 모타 2기를 제작하여 지상연소시험을 수행하고 이 결과를 내탄도 해석과 비교하였다. 지상연소시험 시 전방마개의 구멍을 통하여 압력을 측정하였으며 전방마개 중앙에 로드셀을 설치하여 추력을 측정하였다. 여기서 사용된 압력센서는 DYNISCO사의 G831-101-3M 모델을, 로드셀은 Vishay BLH사의 C3P2 모델을 사용하였다. 추진기관 점화를 위하여 B/KNO₃ 20 g의 시험용 쌈지형태의 점화기를 사용하였다.

Fig. 4 
The verification motors.

내탄도 해석을 위하여 Table 2의 추진제 특성과 Table 3의 설계값 및 초기값을 입력하였다. 일반적으로 시험 후 노즐유출, 연소속도, 성능의 보정계수를 조정하여 내탄도 해석을 수행한다. 각 보정계수는 추진기관의 시험을 통하여 획득할 수 있으며 데이터를 축적하게 되면 내탄도 해석의 정확도를 향상시킬 수 있다.

Fig. 5는 내탄도 해석결과와 지상연소시험의 압력결과 비교를, Fig. 6는 추력결과 비교를 나타낸 것이다. 시험 후 연소속도 보정상수를 적용하여 해석을 수행하였다. 연소속도 보정상수는 스트랜드 버너의 연소속도 측정값과 추진기관 내에서의 연소속도의 차이를 나타내며 추진제의 종류 및 연소속도에 따라 달라질 수 있다. 일반적으로 연소속도 보정상수는 1 이상을 나타내며 연소속도가 낮을수록 보정상수가 증가하는 경향을 나타낸다. 이는 연소속도 측정시의 질소가스 환경과 추진기관 내의 고온연소가스 환경에 의한 열전달 차이로 판단되며 축소형 추진기관의 시험을 통해서도 획득할 수 있다. 부스터 추진제의 경우 연소속도 보정계수는 1.06을 적용하였으며 서스테이너의 추진제 연소속도 보정계수는 1.18을 적용하였다.

Fig. 5 
Pressure Results of Internal Ballistics Analysis and Tests.

Fig. 6 
Thrust Results of Internal Ballistics Analysis and Tests.

압력과 추력의 결과를 보면 부스터 구간에서 압력 및 추력값이 해석결과보다 시험값이 다소 높게 나타나고 서스테이너 구간에서는 역전되어 해석결과에서의 값이 다소 높게 나타났다. 이는 추력효율 보정상수가 압력구간에 따라 다르게 적용되어야 하는 것을 보여준다.

내탄도 해석과 시험 결과를 비교한 결과를 아래의 Table 4에 정리하였다. 총역적 및 부스터 종료시간은 1% 이내의 오차를 가지며 서스테이너 구간의 연소시간 차이가 다소 발생하여 약 3% 정도의 연소시간에 대한 차이가 나타났다.

시험과 해석을 비교하여 분석을 해본 결과 정확한 해석을 위하여 연소속도 보정상수에 대한 데이터 축적이 필요하지만 본 논문에 제시된 이론을 바탕으로 이종추진제의 연소에 대한 내탄도 해석을 수행하는데 있어서 무리가 없을 것으로 판단된다.