발간 현황

로켓의 연소불안정성을 해석할 때, 노즐의 연소불안정에 대한 영향성은 노즐 어드미턴스로 정량화가 가능하다. Fig. 1은 노즐 내 유동과 음향의 상호 작용을 도식화 한 것으로써, 노즐의 입구 마하수 M_e의 유동이 압력파와 함께 유입될 때, 노즐 목에서 파동의 일부가 빠져나가고 그 외 나머지가 반사된 것을 나타낸다. 이와 같이 노즐 내에서 발생하는 압력 섭동의 상호작용을 노즐 어드미턴스 y로 정의하며 연소실 후류 즉, 노즐 입구에서의 음향학적 경계 조건으로 작용한다. 노즐 어드미턴스 y는 주파수의 함수로써 Eq. 1과 같이 표현된다.

Fig. 1 
Interaction between flow and acoustic perturbation inside the nozzle[1].

위 식에서 ρ¯는 평균 밀도, c¯는 평균 음속, u′는 속도 섭동의 크기, p′는 압력 섭동의 크기이며 각 값은 모두 노즐 입구에서 정의된 값이다. 노즐 어드미턴스는 실수부와 허수부로 구성되며 실수부는 압력 섭동의 증감에, 허수부는 압력 섭동의 상(phase)에 관여하는 것으로 알려져 있다. 노즐 어드미턴스는 연소불안정 감쇠 요소로 정의되므로 실수부가 양일 경우 연소불안정은 저감되며 음일 경우 불안정이 증폭된다[1,7].

선형 오일러 방정식(LEE)은 유동이 존재하는 공간에서 밀도, 속도, 압력 섭동에 대한 공력음향학적인 접근 방법 중 하나로써, Navier-Stokes 방정식 내 점성항을 무시한 상태에서 압력 섭동, 속도 섭동, 밀도 섭동과 같은 섭동항 만을 평균 유동과 함께 표현한 것이다. 선형 오일러 방정식을 해석하기 위해서는 해석 공간에 대한 평균 유동 정보가 알려져 있어야 한다. Crocco[5]는 축대칭 및 사각덕트 형상 노즐의 감쇠 효과를 해석하기 위해 선형 오일러 방정식과 동일한 접근 방법을 적용하였다. 이때, Crocco는 해석의 단순화를 위해 노즐 내 유동은 1차원적 축방향 성분만 존재하며 압력 섭동은 축방향, 반경방향, 접선방향과 같이 3차원 섭동이 모두 존재하는 것으로 가정하였다. Bell[7]은 Crocco의 이론을 바탕으로 노즐을 지나는 1차원 유동과 3차원 압력 섭동에 대한 선형 오일러 방정식을 다음과 같이 표현하였다.

Eq. 2∼4는 각각 섭동이 존재하는 유동의 공력음향학적 질량, 운동량, 에너지 보존 방정식이다. 각 항들은 밀도, 속도, 압력의 평균값으로 나눠져 있다. 이는 세 가지 미지 섭동항 대신 단일 섭동항을 통해 1D LEE를 간단하게 해석하기 위함이다. Eq. 2∼4에서, 각 섭동항이 조화 진동을 한다고 가정할 경우, 압력, 속도, 밀도 섭동은 각각 다음과 같이 주파수 영역에서의 단일 변수인 속도 포텐셜을 이용한 표현으로 치환 가능하다.

위 식에서 축방향 좌표계 x는 속도 포텐셜 ϕ로 치환되었으며, Φ는 좌표계 ϕ에 대한 속도 섭동이다. 압력 섭동과 밀도 섭동은 Φ에 의한 함수로 대체되었다[7]. Eq. 5∼7을 Eq. 2∼4에 대입하여 정리하면 다음과 같이 하나의 미분방정식으로 정리 가능하다.

Eq. 8에서 S_mn은 m종 베셀함수의 1차 미분에 대한 n번째 근으로써, 반경방향 및 접선방향 섭동에 대한 정보를 나타낸다. S_mn에 따른 압력섭동 형상의 몇 가지 예시는 Table 1과 같다[7].

미분방정식 Eq. 8의 해인 Φ와 노즐 어드미턴스 y는 Eq. 9와 같은 관계식을 갖는다. 이때, 각 변수들은 모두 노즐 입구에서의 값임에 유의해야 한다.

Sattelmayer의 연구진은 노즐을 포함한 연소실 내 압력 섭동과 유동의 상호작용을 해석하기 위해 3차원 선형 오일러 방정식을 적용하였다[12, 13]. 이 방식과 기존 Crocco 이론과의 가장 큰 차이점은 1차원 유동에 대해 제한적으로 적용되었던 선형 오일러 방정식을 3차원으로 확장하여 밀도, 속도, 압력 섭동에 대한 직접적인 해석을 수행했다는 점이다. Sattelmayer 연구진이 도입한 3차원 선형 오일러 방정식은 다음과 같다.

Eq. 10∼11에서 압력 섭동항은 등엔트로피 가정(p′ = c²ρ′)에 의해 밀도 섭동항으로 치환되었으며, 해석의 단순화를 위해 연소실내 비정상 열방출과 같은 에너지 방정식은 생략되었다. 위 두 식은 모두 시간 영역(time domain)에서 정의된 식이므로 1D LEE 방법과 마찬가지로 각 섭동항(Eq. 5∼7)이 조화 진동한다는 가정을 도입할 경우, 다음과 같은 주파수 영역(frequency domain)으로 정의가 가능하다.

노즐 어드미턴스를 구하기 위해서는 우선, Eq. 12와 Eq. 13을 이용하여 평균유동 정보가 알려진 가상의 연소실을 포함한 노즐에 대해 시간 영역(또는 주파수 영역) 해석을 우선 수행한다. 이후 노즐 입구에서, 압력 섭동항을 노즐로 빠져나가는 섭동과 노즐목을 통해 반사된 섭동으로 분리하는 모드 분할(mode decomposition)을 적용하여 노즐 어드미턴스를 도출한다[7,14]. Sattelmayer 연구진의 3차원 LEE와 1차원 LEE 해석 결과는 Fig. 2와 같다[15]. 3차원 해석 결과는 1차원 해석 및 시험 결과와 일치함을 알 수 있으며, 시간 영역 해석 및 주파수 영역 해석은 서로 유사한 결과를 도출함을 알 수 있다.

Fig. 2 
Comparison with 3D LEE and 1D LEE [15] (LEE: 3D LEE, Analytic: 1D LEE from Bell).

짧은 노즐 이론(short nozzle theory)은 Zinn[16]에 의해 제안된 이론으로서, Fig. 3[17]과 같이 길이-직경비가 큰 연소실 하류에 오직 노즐목만이 존재하는 이상적인 형상의 노즐에서의 노즐 어드미턴스를 예측하는 방법이다. 짧은 노즐에서 노즐 어드미턴스는 다음 식과 같이 주파수와 무관한 입구 마하수의 함수로 정의된다.

Fig. 3 
Example of short nozzle[17].

노즐의 특성길이(수축부 길이)가 상대적으로 연소실의 특성길이(축방향 길이)보다 짧을 경우, 짧은 노즐로 정의가 가능하며 이때의 노즐 어드미턴스는 오직 실수부만 존재함을 알 수 있다.

일반적인 초음속 노즐의 경우, 노즐의 설계 목적에 따라 다양한 수축부 형상이 존재하게 된다. 노즐 수축부의 주요 설계 변수 중 하나는 수축각이다. 입구 마하수가 동일하더라도, 노즐 수축각이 증가할수록 노즐 목의 면적이 동일해야 하므로 수축부의 길이가 감소하게 된다. 또 다른 노즐의 주 설계 변수는 노즐의 입구 마하수이다. 동일한 수축각을 갖는 노즐의 경우, 입구 마하수가 증가할수록 상대적으로 더 큰 목 면적을 갖게 되며 수축부 길이 또한 감소하게 된다[7]. 본 연구에서는 무수히 많은 노즐 형상에 대한 어드미턴스 분석을 수행하는 대신, Bell의 해석 노즐 형상에서 동일한 r_c와 r_cc를 갖는 노즐에 대해, 수축각 θ를 변화시키거나 입구 마하수 M_e를 변화시켜 노즐 형상에 대한 노즐 어드미턴스의 정성적인 경향을 분석하였다. 각 Case에 따른 설계변수는 Table 2와 같다.

노즐 수축각이 증가할 때, 축방향 노즐 어드미턴스의 변화와 1차 접선방향 노즐 어드미턴스의 변화는 각각 Fig 7과 Fig. 8에 나타내었다. 축방향 노즐 어드미턴스의 실수부의 경우, 수축각이 증가할수록 첫 번째 극값의 크기는 동일하나 그 값이 나타나는 주파수가 고주파 영역으로 이동하며, 노즐 어드미턴스가 낮은 값을 갖는 주파수 영역이 증가함을 확인할 수 있다. 축방향 노즐 어드미턴스의 허수부 또한 실수부와 유사한 경향이 나타나는 것으로 확인된다. 이는 수축각 증가로 인해 노즐의 길이가 감소하게 되므로, 파장이 긴 저주파 축방향 섭동이 노즐 내에서 오래 체류하지 못하게 되어 상대적으로 감쇠되지 않은 상태에서 다시 연소실 방향으로 반사되기 때문인 것으로 사료된다.

Fig. 7 
Comparison of longitudinal mode nozzle admittance w.r.t. contraction angle (real part of y is 0.016 at zero frequency).

Fig. 8 
Comparison of first tangential mode nozzle admittance w.r.t. contraction angle.

축방향 섭동의 결과를 Zinn의 짧은 노즐 이론과 비교 시, 입구 마하수가 0.08일때 Eq. 14의 짧은 노즐의 어드미턴스는 0.016의 일정한 값을 가지며, 이는 본 해석 Case에서 주파수가 0일때의 값에 해당하는 것을 알 수 있다. 따라서 노즐 수축부 길이가 짧아질수록 짧은 노즐 이론과 같이 축방향 노즐 어드미턴스가 상대적으로 낮은 값을 나타내는 주파수 영역대가 크게 확장되어 노즐 어드미턴스에 대한 주파수 의존성을 줄인다는 기존 이론을 검증한다.

1차 접선방향 섭동에 대한 노즐 어드미턴스의 경우, 축방향 어드미턴스와 달리 실수부와 허수부 모두 복잡한 거동을 보이는 것을 확인할 수 있다. 실수부의 경우 특정 주파수 영역(ω^* = 2.80 ~ 2.97)을 제외한 넓은 영역에서 0에 근접한 음의 값을 나타내는 것을 보았을 때, 1차 접선방향 모드에 대해서는 노즐의 감쇠 효과를 기대할 수 없을 것으로 판단된다. 또한, 짧은 노즐 이론의 값을 접선방향 섭동에 대해 적용하는 것은 적합하지 않음을 확인할 수 있다.

동일한 수축각(θ = 30°)을 갖는 노즐의 입구 마하수를 증가시켰을 때, 축방향 및 1차 접선방향 노즐 어드미턴스를 각각 Fig. 9와 Fig. 10에 표기하였다. 축방향 노즐 어드미턴스의 실수부와 허수부 모두 입구 마하수가 증가할수록 첫 번째 극값의 크기가 점차 감소하는 특징이 발견되었다. 이 현상은 Eq. 9의 노즐 어드미턴스의 정의와 같이 동일한 속도(또는 압력) 섭동이 가해졌을 때, 속도 제곱 항의 영향에 따라 발생하는 현상으로 추측되나 정확한 물리적인 원인이 규명되지 않았으므로 추후 심도 깊은 연구가 필요하다. 축방향 노즐 어드미턴스에서 첫 번째 극값이 고주파 영역으로 이동하는 현상은 수축각 증가(Fig. 7) 시와 유사하게 노즐 입구 마하수가 증가 할수록 노즐의 수축부 길이가 감소함으로 인해 발생되는 것으로 판단된다.

Fig. 9 
Comparison of longitudinal mode nozzle admittance w.r.t. inlet Mach number for θ = 30°.

Fig. 10 
Comparison of tangential mode nozzle admittance w.r.t. inlet Mach number for θ = 30°.

1차 접선방향 모드에 대한 노즐 어드미턴스의 실수부는 입구 마하수가 증가할수록 낮은 주파수에서의 음의 값에서 양의 값으로 전이되어 변화하는 것을 확인할 수 있었다. 이는 입구 마하수가 커질수록 1차 접선방향 압력섭동의 감쇠를 기대할 수 있는 주파수 영역이 넓어짐을 의미한다. 허수부의 경우, 마하수가 증가할수록 주파수에 따른 변화폭이 감소하는 경향을 보이지만 이와 같은 허수부의 변화가 실제 압력 섭동에 대한 감쇠에 어떻게 작용하는지는 현재까지 명확하게 규명되지 않았다[1].