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구형 입자가 포함된 나노유체의 점도를 예측하기 위해서 사용되는 대표적인 식은 Einstein model[8]이 있고, 아래 Eq. 1과 같다.

이는 부피분율 0.02 이하 (ϕ<0.02)의 아주 작은 부피분율을 가지는 나노유체의 점도 예측에 사용된다. 이후, Einstein model을 기반으로 구형 입자를 가지는 나노유체의 점도 예측을 위한 모델들이 개발되었는데, 대표적으로 Brinkman model[9]이 있고, 아래 Eq. 2와 같다.

Brinkman model은 Einstein model을 변형하여 평균 부피분율을 0.04까지 확장한 식으로 더 높은 부피분율을 가지는 나노유체에도 적용할 수 있도록 개발되었다. 다음으로 Batchelor model[10]은 Einstein model에서 브라운 운동 효과를 고려하여 식을 확장하였으며 식은 아래 Eq. 3과 같다.

다음으로 Lundgren model[11]은 입자의 부피분율(ϕ)의 단위로 테일러 급수를 확장한 식이다.다음 Eq. 4와 같으며, 여기에서 만약 세 번째 항 이상의 항들이 무시된다면, Einstein model과 동일한 형태로 나타난다.

2.1절의 구형 입자 예측 모델은 낮은 부피분율에서 어느정도 나노유체의 점도를 예측할 수 있지만, 예측성능을 더욱 향상시키기 위해서는 나노입자의 모양에 대한 매개변수를 포함한 식을 사용하는 것이 적합하다.

Maron and Pierce model[12]과 Krieger and Dougherty (K-D) model[13]은 불규칙한 고체 입자의 현탁액 점도를 예측하는 상관식으로 입자의 모양과 크기에 따른 매개변수를 포함하고 있어 비구형 입자의 점도 예측에 적용할 수 있다.

Maron and Pierce model과 Krieger and Dougherty model은 각각 아래 Eq. 5, 6과 같다.

위 식에 의하면 베이스 유체의 점도가 온도에 따라서 변화하기 때문에 온도에 따른 나노유체의 점도 변화 또한 고려할 수 있게 된다.

Eq. 5, 6에서 Maximum packing volume fraction(ϕ_m)[14]은 Fig. 1에 보이는 바와 같이 입자가 충분히 많아져서 점도가 무한대가 되는 부피분율이다. 이는 입자의 모양 및 크기, 베이스 유체의 종류에 영향을 많이 받기 때문에 별도의 실험을 통한 측정이 필요하다.

Fig. 1 
Maximum packing volume fraction [14].

다음으로 Eq. 6의 [η](Intrinsic viscosity)는 입자가 용액 속에서 이동하는데 걸리는 내부적인 저항을 표현하는 용액 내 선형 점도의 측정값으로서, 분자의 크기, 모양, 전하 등과 같은 분자 특성과 용액의 특성에 따라 결정되는 매개변수이다. 나노 유체의 [η]을 결정할 수 있는 방법은 두가지가 있는데, 첫 번째로는 Mark-Houwink 방정식[15]이며, 식은 아래 Eq. 7과 같다.

위 식에서 K는 Mark-Houwink constant, M은 분자량으로서, K와 a는 특정 Polymer와 Solvent의 조합에 대하여 온도에 따른 값이 제시되어 있다. 두 번째로는 Barnes equation[16,17]이다. 이 식은 디스크 모양의 높은 종횡비(AR, 직경/두께)를 가지는 입자의 [η]를 예측할 수 있는 식이며, 다음 Eq. 8과 같다.

이러한 비구형 나노유체 점도 모델의 예측성능은 Fig. 2∼3과 같으며, 위 그림에서의 예측 대상은 2차원의 평면구조를 가지는 그래핀 입자를 포함한 나노유체이다. Fig. 2에서 확인할 수 있는 바와 같이 K-D model 이 구형 입자에 대한 모델들에 비해서 실험값과 매우 유사한 결과를 보여 우수한 예측성능을 보유한 것을 알 수 있다.

Fig. 2 
Comparison of K-D model and prediction models for spherical particles [18].

Fig. 3 
Comparison the Maron–Pierce model and Krieger–Dougherty model [19].

또한, Fig. 3은 입자의 부피분율에 대한 점도 비율을 나타낸 그래프로서, 암모니아(NH₃) 용액에 GNP(Graphene Nano Particle)를 혼합한 나노유체의 점도 실험값과 예측 모델인 Eq. 1, 2를 비교한 그래프이다. 여기에서 Intrinsic viscosity를 매개변수로 가지는 Krieger and Dougherty model이 가장 우수한 예측성능을 보유하고 있는 것을 확인할 수 있다. 이러한 Krieger and Dougherty model은 베이스유체의 점도와 부피분율뿐만 아니라 입자의 모양 및 크기를 고려하는 매개변수인 Maximum packing volume fraction(ϕ_m)과 Intrinsic viscosity[η]를 이용하여 나노유체의 점도를 예측하기 때문에 2차원 평면구조를 가지는 나노입자를 포함한 유체의 점도를 가장 우수하게 예측할 수 있는 모델이라고 판단된다.

구형 입자를 가지는 나노유체의 열전도도 예측에 주로 사용하는 모델에는 Maxwell model[20]이 있다. Maxwell model은 나노입자의 부피분율(ϕ)과 나노입자의 열전도도(k_p), 베이스 유체의 열전도도(k_bf)만을 이용하여 나노유체의 열전도도(k_nf)를 예측할 수 있으며 식은 아래 Eq. 9와 같다.

그러나 Maxwell model은 낮은 부피분율에서만 정확하게 예측할 수 있다는 한계가 있다. 이러한 한계를 극복하기 위하여 개발된 Bruggeman model[21]은 낮은 부피분율을 가지는 나노유체에 대해서는 Maxwell model과 비슷한 결과를 보이지만, 높은 부피분율을 가지는 나노유체에도 적용할 수 있는 특징을 가지는데, 식은 아래 Eq. 10, 11과 같다.

이러한 Maxwell model과 Bruggeman model은 입자의 모양을 고려하는 매개변수는 포함하고 있지 않기 때문에 구형 입자가 아닌 입자를 포함한 나노유체의 열전도도 예측에는 적합하지 않다.

비구형 입자를 가지는 나노유체의 열전도도를 예측하기 위해서는 입자의 모양에 따른 변화를 고려할 수 있는 매개변수를 포함해야 한다. 비구형 입자의 열전도도를 예측할 수 있는 모델로는 Hamilton-Crosser(H-C) model[22]이 있으며, 이는 Maxwell model의 식에서 입자의 모양 변화를 고려할 수 있는 항을 추가하였다. 식은 다음 Eq. 12와 같다.

여기에서 n은 경험적 형상 계수(the empirical shape factor)로 다음 Eq. 13과 같이 나타낸다.

여기에서 ψ는 표면적에 대해 입자와 부피가 같은 구의 표면적 비율로 정의되는 입자 구형도이므로 경험적 형상계수 n은 구형 입자의 경우 n=3, 원통형 모양의 경우 n=6으로 나타난다. 이러한 Hamilton-Crosser model은 모양에 상관없이 형상 계수를 안다면 나노유체의 열전도도를 계산할 수 있다는 장점이 있다.

비구형 입자를 가진 나노유체의 열전도도는 3.2절의 경험적 형상계수를 가지는 모델을 사용하여 예측할 수 있지만, 더욱 정확한 예측값을 얻기 위해서는 입자의 특정한 모양을 고려하여 개발된 모델을 적용하는 것이 적합하다.

나노입자의 모양이 길이가 길고 두께가 얇은 큰 종횡비를 가지는 타원체라면, 타원체의 두께, 길이, 종횡비를 고려한 열전도도 예측기법을 사용할 수 있다. Chu model[23]은 입자를 Fig. 4와 같이 타원체로 가정한 열전도도 예측 모델로서 Eq. 14와 같다.

Fig. 4 
Schematic diagram of nanoparticle as an equivalent oblate spheroid [23].

여기에서 R_k는 계면 열저항, L은 입자의 길이, t는 입자의 두께를 의미한다. η는 나노입자의 평균 평탄도 비율로서, 이에 대한 상세한 설명은 참고문헌[23]에서 확인할 수 있다.

Fig. 5에는 Chu model의 예측성능을 나타내었는데, 여기에서 나노유체는 입자를 종횡비가 큰 타원체로 가정할 수 있는 그래핀 입자를 포함한 나노유체이며, 보이는 바와 같이 263∼323 K 사이의 다양한 온도 범위에서 그래핀 나노유체에 대한 열전도도 예측성능이 우수한 것을 확인할 수 있다.

Fig. 5 
Experimental and Chu prediction results for graphene nanofluids with different volume fraction [24].

Gao model[24]은 Chu model과 같이 입자를 타원체로 가정한 예측 모델로서, Chu model의 식에서 액체 내 나노입자들의 브라운 운동을 고려한 항을 추가하여 Eq. 15와 같이 나타낸다.

여기에서 ρ_p는 입자의 밀도, c_p,p는 입자의 정압 비열, K_B는 볼츠만 상수, r_c는 입자의 반지름인데, 타원체 입자의 r_c는 입자와 부피가 동일한 구형 입자의 지름인 d_p,eq의 절반으로 정의하며, d_p,eq의 식은 아래 Eq. 16과 같다. 여기에서 ν_non-sph은 나노입자의 부피이다.

얇은 2차원 평면 구조를 가지는 나노입자를 포함한 나노 유체의 열전도도를 예측하기 위해서는 판형 입자를 가정할 수 있다. 다음 3.4.1절에는 원형판 모양을 가정한 예측 모델, 3.4.2절에는 사각형 판 모양을 가정한 예측 모델을 정리하였다.

3.4.1 원형판 모양 입자의 열전도도 예측 모델

Fig. 6에 보이는 바와 같이 유체 안에 원형 디스크 모양의 나노입자가 포함된 나노유체의 열전도도를 예측하는 식에는 Zhai model[25]이 있다. Zhai model은 x축과 z축의 interphase 효과와 입자의 무작위 분포와 종횡비, 이방성을 고려하기 위해서 Nan’s model[26]을 활용하였다. 식은 아래 Eq. 17과 같다.

keff=kbf3+ϕeff2kpxeff-kbfkbf+Lxkpxeff-kbf1-Lx3-ϕeff2kpxeff-kbfkbf+Lxkpxeff-kbfLx  +kpzeff-kbfkbf+Lzkpzeff-kbf1-Lz+kpzeff-kbfkbf+Lzkpzeff-kbfLz

(17)

Fig. 6 
Sketch of the decomposing region of a nanoparticle with interphase layer along (a) x-axis and (b) z-axis [25].

여기에서 ϕ_eff은 interphase layer를 포함한 입자의 부피분율이다. L_x와 L_z는 시트 모양을 가진 나노입자의 탈분극 계수로서, 이들은 아래 Eq. 18, 19와 같으며, 여기에서 p는 interphase layer를 포함한 입자의 종횡비를 의미한다.

Lx=πp4

(18)

Lz=1-2Lx

(19)

또한 Eq. 17에서 kpxeff, kpzeff은 각각 x축, z축 방향의 유효 열전도도이며 Eq. 20, 21과 같다.

kpxeff=δδ+2t⋅Akp+BCklrA+BC+2tδ+2t⋅klr

(20)

kpzeff=δ+2tklrkp1+Cklr2tkp1+δklr1+C2tkp1+δklr

(21)

여기에서 δ는 나노입자의 두께, t는 interphase layer의 두께이며, k_p1는 나노입자 z축 방향의 열전도도, k_lr는 interphase layer의 열전도도이다. 또한 A, B, C는 입자의 반지름(R), 입자의 열전도도(k_p), interphase layer의 열전도도(k_lr)를 고려하여 단순화한 매개변수로서 각각 Eq. 22∼24와 같다.

A=-2klrklr+kp

(22)

B=RR+t⋅kp-klrklr+kp-1

(23)

C=R+t2-R2R2

(24)

Zhai model은 Fig. 7에 보이는 바와 같이 interphase 효과를 고려하지 않은 다른 예측 모델들보다 더 나은 예측성능을 보유하고 있다. 또한, 포함된 입자의 부피분율이 작을수록 더욱 정확한 예측이 가능한 것을 확인할 수 있다.

Fig. 7 
Comparisons of different models at lower volume concentrations for Zhai model [25].

3.4.2 사각판 모양 입자의 열전도도 예측 모델

다음으로 Huang model[27]은 Fig. 8과 같이 나노시트를 사각형의 바닥 면을 갖는 입자로 가정한다. 하지만 Zhai model과는 달리 나노입자를 둘러싼 interphase layer는 무시하고, 상부 및 하부를 둘러싼 interphase layer만 고려한다.

Fig. 8 
Sketch of nanoparticle with interface layers [27].

Fig. 9와 같이 나노시트가 임의의 각 θ을 가지면서 균일한 온도장에 놓여있는 것으로 가정하고 x축 방향의 유효 열전도도(k_eff,x), z축 방향의 유효 열전도도(k_eff,z)를 각각 구한 후, 평균 유효 열전도도(keff¯)를 유도한 식은 Eq. 25∼27과 같다. 여기에서 δ는 나노입자의 두께, t는 interphase layer의 두께이다.

keff,x=ϕkp+2tδϕklr+1-δ+2tδϕkb,f

(25)

keff,z=δ+2tδϕδ+2tkpklr2tkp+δklr+1-δ+2tδϕkbf

(26)

keff¯=1π∫0πkeff,x2sin2⁡θ+keff,z2cos2θdθ

(27)

Fig. 9 
Thermal conductivity analysis diagram of equivalent anisotropic material in field [27].

이와 같이 Huang model에 의하여 도출된 평균 유효 열전도도 관계식 Eq. 27을 기반으로 하여, 나노유체의 예측 정확도를 더욱 향상시키기 위한 두 번의 개선(renovation)이 수행되었다. 이는 나노입자의 분포와 온도 변화가 열전도도에 미치는 영향을 추가적으로 고려함으로써 가능하였는데, 이러한 두 번의 renovation은 각각 다음에 설명하는 바와 같이 Particle-free renovation과 temperature renovation으로 구현되었다.

첫번째로는 나노입자가 베이스 유체 안에서 균일하게 분포되어 있다고 가정하는 Particle-free renovation이다. 액체에 고체 입자를 섞은 나노유체의 경우 나노입자가 베이스 유체에 무작위로 분포되어 있기 때문에 실제 열전도 경로에 영향을 미친다. 이를 고려하기 위해서 Fig. 10과 같이 나노입자가 모든 영역에 대해서 일정한 길이 L₀를 가지면서 균일하게 분포되어 있다고 가정한다. renovation 후의 유효 열전도도(keffp)는 다음 Eq. 28과 같다.

keffp=p-⋅keff¯+1-p-kbf

(28)

Fig. 10 
3D schematic of nanofluids containing single graphene nanoparticle [27].

여기에서 p-는 다음과 같이 정의된다.

p-=2π∫0π/22L0cot⁡θ+12L0+δcot⁡θ+2L0+Ldθ

(29)

Fig. 11은 Particle-free renovation 전과 후의 예측성능을 비교한 결과로서, renovation 후의 예측성능이 더욱 향상된 것을 확인할 수 있다.

Fig. 11 
The comparison of Huang models before and after particle-free renovation [27].

두 번째는 temperature renovation으로, 나노유체의 열전도도는 온도에 많은 영향을 받는데, 이에 따른 변화를 고려하기 위해 브라운 운동 항을 추가하여 예측 정확도를 높였다. 두 단계의 renovation 과정을 거친 최종 Huang model은 다음 Eq. 30과 같다.

keff=keffp+1-Psρpϕcp2kbfkBT3πrcμbfρbf+Psρpϕcp2kbfkBT3πrcμbfρbf

(30)

여기에서 P_s는 전체 나노입자에 대해서 크기가 5 nm 이하인 작은 입자의 비율이며, 두 번째와 세 번째 항에서의 브라운 운동 기호들은 Gao model과 동일하다.

Fig. 12에 판형 입자로 가정할 수 있는 2차원 평면구조인 그래핀 입자가 섞인 나노유체에 대하여 Huang model과 앞서 제시된 열전도도 예측 모델들의 예측성능을 함께 나타내었다. 그림에 보이는 바와 같이 2차원 평면구조를 가지는 그래핀 나노입자가 포함된 나노유체의 경우, 사각판 모양 입자를 가정한 Huang model이 가장 우수한 예측성능을 보유하고 있는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 12 
Comparisons Huang model and different models at lower volume concentrations [27].