로켓 연소기의 동압 진폭엔벨롭을 이용한 안정성 해석

2.1 연소기 내 동특성 해석

추진시스템에서 열음향 불안정은 오랫동안 연구해왔으며, 특히 연소기가 얼마나 쉽게 불안정해질 수 있는지 즉 작동 안정마진을 예측하려는 방법에 대해 많은 연구가 있었다[7,8].

이러한 방법은 연소기의 열음향 현상을 이론적으로 유도한 후 모델링 기본식으로 구성하고 운전 조건에 따라 나타나는 연소기의 동적거동을 모델 파라미터 값으로 결정하는 것으로, 파라미터 연구 혹은 시스템 식별기법이라고 부르기도 한다. 실제 이 방법을 사용하려면 해당과정에 대한 검증이 필요하기 때문에, 일반적으로는 실험데이터를 통해 설정 모델과 파라미터 간 추정과정을 분석하여 파라미터 변화와 파라미터 간 기능적 관계(functional dependence)를 구한 후, 이 관계를 이용하여 다른 작동조건에서 연소기 동적특성을 예측하는 순서로 진행한다.

2.2 연소기 내 동특성의 수식화 과정

연소기 내 물리현상은 물질, 운동량 및 에너지 보존식으로부터 변수를 평균량과 섭동량으로 구분한 후 압력섭동으로 정리하면 Eq. 1의 파동방정식과 Eq. 2의 경계조건으로 표현할 수 있다.

식에서 F 및 B는 비선형을 포함한 항이며, 상기 편미분 방정식을 푸는 방법으로 가중함수를 사용하는 모달해석을 하는 것이 일반적이다. 한편 압력섭동은 Eq. 3과 같이 여러 모드의 합으로 구성한 후 모달 식으로 정리할 수 있다.

Eq. 1을 만족하는 압력에 대한 표현식(3)을 가중잔류(weighted residual)의 직교특성으로 구하기 위해, Eq. 3을 Eq. 1에 대입하여 구성한 Eq. 4는 N차 고유 음향모드 각각에 대해 독립적으로 성립한다.

식에서 ω_N은 N차 고유 각주파수로 $$ {\omega }_N=\overline{a}{\kappa }_N$$ 이며, F_N 은 강제구동 혹은 소산 항으로 Eq. 1에서 섭동하지 않는 음향모드와의 편차로도 생각할 수 있다. 즉, 상기 Eq. 4의 좌측은 음향특성을 나타내며, 우측의 강제구동/소산 항은 화염특성에 해당한다고 생각할 수 있다. Quinlan등은, 상기 관계를 Fig. 1과 같이 선형프로세스 기여분과 비선형 기여분 모델로 일반화 하고, 스토캐스틱 분석을 했다[6,8,9].

Fig. 1

Block-diagram of a rocket combustor.

Fig. 1에서 점선으로 나타낸 H 부분이 선형해석부분으로 p 및 q 는 각각 연소기내에서 선형해석하는 압력 및 에너지 생성이다. u는 유동속도이며 선형해석모델의 입력변수인 y는 정상상태 에너지생성(q_s)과 에너지생성의 비선형기여분(q_nl = F_sn(q))의 합이다. 따라서 총 에너지생성(q_t)은 선형기여분과 비선형기여분의 합으로 표현된다(q_t = q_s + q + q_nl).

이를 일반화하면 시스템은 Eq. 5로 표현되고 통상 상태-공간모델(state-space model)해석을 통해 시스템의 동특성을 파악한다.

로켓연소기에서 음향동특성은 몇 개의 저차 모드가 주도하며, 그 중 어떤 하나의 고유값 ω = ω₀ 부근에서는 η_N 및 $$ \dot{{\eta }_N}$$의 함수로 표현할 수 있기 때문에 다음 형태의 식이 된다.

여기에서 ξ 과정은 난류 연소 잡음(turbulent combustion noise)으로 유발되는 항으로 ξ∞q_s 이다. 최근 Noiray등은 ξ 를 정체된(stationary), δ-상관(δ-correlated) 정규분포 랜덤과정(random process)로 간주하고 한계-사이클의 섭동진폭 상관관계로 해석하여 타당성을 입증하였다[8]. 이에 본 연구에서도 시계열로 된 연소압력 실험데이터를 랜덤과정 기반의 주파수 및 진동진폭 엔벨롭(envelope)의 상관관계로 해석하는 상기방법으로 로켓연소기의 연소동특성을 검토하였다.

2.3 시스템 모델 구성 및 파라미터 상관관계

2.4 연소시험 측정데이터

2.4.1 시험장치 및 연소기 형상

연소불안정 해석을 위한 연소기 형상 및 측정센서 위치는 Fig. 2와 같다.

Fig. 2

Location of pressure sensors.

연소기의 압력측정은 25 kHz의 샘플링속도로 연소챔버 내부 2개소, 산화제 및 연료 매니폴드각 2개소 및 기타 연료링 1개소에서 이루어지며, 본 실험에서 사용한 측정데이터는 분사면으로부터 약 150 mm 떨어진 단면에서 원주방향으로 135도 간격으로 위치한 2개의 압력센서로 측정하였다. 또한 다수의 위치에서 1 kHz의 샘플링속도로 압력측정을 실시했다.

2.4.2 측정데이터의 선정

해석에 사용하는 데이터 셋트는 동일한 시험기를 이용하여 연소시험을 통해 측정한 것으로, 설계값 대비 시험조건은 Table 1과 같다.

Table 1.

Operating conditions.

분석한 데이터는 여러 연소시험 측정 증 한가지로, 실제 연소시험 값은 설계점 정격조건과 다소의 차이가 있지만, 연소압력 및 혼합비 운영조건의 차이가 미미하기 때문에 이에 따른 연소기의 동특성의 변화는 없을 것으로 판단했다.

한편 해석에 사용한 시계열 시험 데이터 셋트는 Fig. 3에 나타냈다. 전체 연소시험 시간 중 34초∼37초 구간에서 1 kHz 샘플링속도로 측정한 연소압력은 18초∼34초 구간과 큰 차이가 없지만, 25 kHz 샘플링 속도의 동특성 전용 압력센서로 측정한 압력섭동 진폭은 증가하는 변화를 가지기 때문에, 이번 해석에서는 안정한 연소특성을 보이는 진폭이 작은 구간(1구간) 데이터를 사용하여, 1 T 모드에 대한 안정성 특성을 검토하였다.

Fig. 3

Experimental Pressure Data. a) 1 kHz sampling. b) 25 kHz sampling and LP filtering.

3.1 압력섭동 관심모드 설정

데이터의 분석 시 수반되는 필터링에 따라 데이터가 왜곡될 수 있기 때문에, 실제 데이터의 동적특성 분석에 앞서 관심모드의 공진주파수를 기준으로 필터링 범위설정이 필요하다. 이를 위해, 배플 연소기의 선형해석을 통해 저차 모드의 주파수를 예측하였으며, 해석결과는 Table 2와 같다[5].

Table 2.

Resonance frequency.

계산 결과에서 보면, 2 T 및 1 R 모드 주파수는 2100∼2500 Hz 부근에 인접하고 있으며, 많은 경우 1 T 모드에서 불안정이 발생하는 경우가 많았기 때문에, 1 T 모드를 분석대상으로 선정하였다.

한편, 동일원주에서 135도 이격하여 설치한 2개의 동압센서(Fig. 2 참조) 압력측정데이터의 상관관계로부터 1T모드 공진 주파수가 1100 Hz에 위치하는 것을 확인하였다. Fig. 4에 광대역주파수에서 연소압력 파워스펙트럼을 구한 대표적인 결과를 제시했다.

Fig. 4

Broadband PSD analysis.

그림에서 보면 800 Hz 부근의 1 L모드 피크는 선형해석 결과 피드백 이득(gain)이 1 이하로 평가되며[5], 실제로 1 T모드의 파워강도가 제일 강하기 때문에, 해당 모드의 동적특성이 연소기의 전체적인 동특성을 주도할 것이라는 것을 쉽게 이해할 수 있다.

3.2 PSD를 통한 1 T 모드 시스템 선형해석

1 T 모드에 대한 시스템 파라미터 특성을 파악하기 위해 주파수에 따른 파워 스펙트럼 밀도(PSD)분석을 실시했다. 주파수분해는 우선 밴드패스 필터를 이용하여 관심영역의 특성을 고립시킨 후 Eq. 8에 대한 파라미터로서 공진주파수 ω₀ 및 선형 성장속도 ν를 추출한다.

밴드패스 필터 적용에 따른 영향을 비교하기 위해 필터적용 여부에 따른 주파수별 압력섭동 그래프를 Fig. 5에 제시했다.

Fig. 5

Original pressure signal and the signal filtered at the 1 T mode.

그림에서 알 수 있듯이 관심모드의 주파수범위인 1100 Hz 부근에서는 필터를 거친 신호와 원형신호는 잘 부합하는 것을 알 수 있었다.

또한 시스템 파라미터를 추출하기 위해, 주파수에 따른 압력섭동 데이터로부터 PSD를 구하기 위해 실험데이터로부터 Eq. 8의 PSD에 상응하는 Lorentz 분포를 근사시켜 Fig. 6을 얻었다. 이로부터 1 T 모드 공진주파수 및 댐핑속도, 피크 크기를 추출하여 Table 3에 정리하였다.

Fig. 6

PSD of 1 T (A/B) mode.

Table 3.

System parameters.

그림에서 보듯이, A모드 및 B 모드의 피크 크기가 크게 다르며(A≠B), 또한 피크 크기가 작은 B 모드 피크 값도 0 이 아니기 때문에, 결정론적(deterministic) 의미로서 화염의 강도는 원주방향에 따라 일정하지 않고 순수회전(A=B)이나 순수정지(B=0)상태 보다는 혼합모드로 존재할 것으로 평가된다.

결과적으로 선형모델에 따른 1 T 안정성은 A 모드 및 B 모드 공히 동일한 공진주파수를 나타내며, 이 주파수에서 성장속도(혹은 음의 댐핑속도) 또한 동일한 음의 값을 가지므로 시스템은 안정할 것으로 판단된다.

3.3 연소압력 진폭 엔벨롭 해석

동적시스템의 진폭엔벨롭 분석을 통해 시스템의 성장속도를 도출하기 위해서는 섭동진폭 관계식인 Langevin Eq. 10 및 Fokker-Planck Eq. 11로 성장속도 및 잡음강도를 구하여 안정성을 평가하였다.

이를 위해 앞에서와 같이 관심모드의 동특성 추출 시 밴드패스 필터를 적용하였으며, 그 후 Hilbert 전환과정을 수행하여 압력진동 진폭 엔벨롭을 구하였다. 대표적인 결과로 0∼2500 측정값에 대한 섭동압력의 진폭 엔벨롭을 Fig. 7에 제시했다. Fig. 7에서 보듯이 1 T A 모드(청색 실선)의 섭동압력 진폭 엔벨롭은 B 모드 진폭 엔벨롭(적색실선)보다 현저하게 크다는 것을 알 수 있으며, 이는 주파수 해석 결과인 Fig. 6의 파워 스펙트럼 밀도 그래프 결과와 부합한다.

Fig. 7

Amplitude Envelope of A/B mode

한편, 스토캐스틱 해석을 위해 연소섭동압력 진폭 엔벨롭의 확률분포함수(PDF)을 도출하였으며, 결과는 Fig. 8과 같다.

Fig. 8

PDF of amplitude envelope

각 모드의 섭동압력 진폭 엔벨롭은 평균 진폭을 중심으로 하는 정규분포를 보이는데, 특히 A 모드 압력섭동 엔벨롭의 평균진폭은 1.77 bar로 B 모드의 평균진폭 0.98 bar 보다 더 크고, 최대진폭도 A 모드는 3.96 bar로 B 모드의 2.12 bar 보다 2배정도 크다.

또한 Fokker-Planck 식의 부유(drift)항 및 확산(diffusion)항의 진폭변화 관계로부터 시스템 파라미터인 ν, Γ 값을 피팅한 결과는 Table 4와 같다.

Table 4.

System parameters.

진폭 엔벨롭으로부터 도출한 성장속도는 A 모드 및 B 모드 값이 모두 음의 값을 가지지만, 절대 값이 작기 때문에 상대적으로 안정성이 작다는 것을 의미하며, 결과적으로 선형모델해석 결과와는 달리 안정마진이 아주 작거나, 준안정하다고 판단된다.

Fokker-Planck 식을 통해 파라미터를 구하는 방법론으로 선행연구자들이 설명한 바와 같이 비선형 시스템의 ν 값 및 Γ 값을 도출하였다. 다만, 파라미터 값은 적용하는 밴드패스 필터의 특성 및 최적화방법에 의존하는 것으로 나타났다.

또한 A 모드 섭동압력 진폭 엔벨롭이 B 모드에 비해 훨씬 강하기 때문에 위치에 따른 주기특성이 크다는 것을 의미하므로, 추후 이에 대한 별도 해석이 필요할 것이다.