비행정보를 이용한 흡입구의 공기유량 추정 및 불확도 평가

3.1 공기유량 추정

엔진으로 유입되는 공기유량 계산식은 유동과 관련한 수식으로부터 Eq. 2와 같다[3]. 여기서 ρ, M, γ, R, T, A_c 는 각각 자유흐름 공기 밀도, 비행 마하수, 비열비, 기체상수, 공기 정온도 그리고 흡입구의 단면적이다.

Eq. 2는 측정 불가능한 물리량으로 표현되어 있어 비행 중 측정 가능한 형태로 수식을 변경해야 한다. 먼저 자유흐름에 노출된 프로브를 통해 측정되는 수직 충격파 후단의 전압력(P₀₁)과 등 엔트로피로 가정하여 측정한 자유흐름 전온도(T₀), 그리고 전산유체 해석이나 시험과 같은 방법을 통해 획득한 공기유량계수 f를 이용하면 Eq. 3과 같이 변형할 수 있다.

여기서 J(M)은 Eq. 4와 같다.

3.2 추정식의 단순화

Eq. 4는 측정 가능한 압력과 온도로 구성되어 있는데, 비행 마하수에 대해 복잡한 형태로 구성되어 있어 빠르고 안정적인 계산을 하는데 적합하지 않다. 따라서 식 J(M)을 적절한 마하수 영역에서 고차의 다항식 R(M)으로 근사하면 Eq. 5와 같고 근사 결과는 Fig. 3과 같다.

Fig. 3

Approximation of J(M)

J(M)의 근사함수 R(M)은 다양한 다항식 차수를 이용하여 근사할 수 있는데, Eq. 3에서 다른 측정변수의 오차가 없다고 가정하였을 때 근사함수 오차로 인한 공기유량 추정 오차는 Table 1과 같다. 근사 결과 3차의 다항식을 사용할 경우 매우 높은 정확도로 근사하고 있음을 알 수 있다.

Table 1.

Estimation error of approximation functions

4.1 평가조건

흡입공기 유량의 참값 및 추정오차를 계산하기 위하여 마하, 고도 평면에서 정의된 비행영역을 계산영역으로 이용하였다. 비행 마하수는 마하 2.0∼5.0, 비행 고도는 0∼30km로 제한하였고, 표준 대기를 이용하였다. 비행정보를 획득하기 위한 측정 센서는 참고문헌 [2]에 제시된 프로브와 동일한 형상을 가진다고 가정하였고, 비행 마하수와 받음각을 추정하는 알고리즘도 동일한 기법을 적용하였다. 센서의 오차는 Table 2와 같은 두 종의 정확도를 갖는 센서 군에 대하여 평가하였는데, 여기서 정의한 센서 오차는 영평균, 측정 전 영역(F.S., Full Scale) 오차가 3σ(99.7%)인 정규분포 모델로 가정하였다.

Table 2.

Sensor specification

4.2 영향변수 평가

Eq. 5를 이용할 경우 흡입공기 유량은 P₀₁, T_o, M, α의 함수가 되고, M, α는 다시 P₀₁, P₀₂, P₀₃으로 표현할 수 있다. 여기서 P₀₂, P₀₃는 참고문헌 [2]의 콘 상하단에서 측정한 전압력을 의미한다. 각각의 변수는 추정식 구조와 각 변수의 수치적 변동 폭으로 인하여 측정 오차가 없다고 가정하여도 공기유량 추정 오차에 관한 기여도가 다르다. 각 변수의 오차에 관한 상대적인 기여도를 평가하기 위하여 평가 대상 변수를 비행 영역에서 변하지 않는 상수로 가정하고, 다른 변수는 비행 조건 변화에 따라 측정 가능하다고 가정하였다. 이러한 계산 방식으로 비행 영역의 계산조건(n)에 대하여 공기유량 추정 오차율의 합을 가격함수로 정의하고 이를 최소화 하는 평가대상 상수값을 최적화 기법으로 찾아냈다. 예를 들어 P₀₁을 측정하지 않고 상수로 가정할 경우 공기량 추정률 오차를 최소화 하는 P_01opt를 결정하는 문제는 Eq. 6과 같이 정의할 수 있다. 여기서 $$ \widehat{\dot{m_{ai}}}$$는 Eq. 5와 같은 구조를 가지며 P_01opt를 이용한 추정 공기유량이다.

적용한 최적화 기법은 PSO(Particle Swarm Optimization)이고, 각 변수의 탐색 범위 및 최적 변수를 적용한 오차는 Table 3과 같다. 이 추정오차를 전체로 보고 각각의 변수 기여도를 백분율로 환산하면, 전압력, 전온도, 마하수 그리고 받음각 순서대로 69%, 16% 13%, 1%의 기여도를 가지고 있음을 알 수 있는데, 이는 각 변수를 직접 측정하지 않고 임의의 상수로 가정하게 되면 발생시키는 오차를 의미할 수 있다.

Table 3.

Ranges of effective parameters and their effects on estimation error

4.3 평가방법

추정식에 의한 모델오차와 센서에 의한 측정오차를 고려하여 공기량 추정 불확도를 평가하였다. 먼저 Eq. 5를 공기유량 추정식으로 사용하게 되면 공기유량의 추정 불확도는 각각의 측정 변수들이 공기유량 추정 모델식을 구성하므로 Table 2의 센서 오차를 활용하면 합성 표준 불확도로 표현할 수 있다. 여기서 추정식을 구성하는 각 측정변수들과 유량계수(f)가 독립이므로 합성 표준 불확도($$ {u_c}^2$$)는 Eq. 7과 같이 표현할 수 있다. 본 연구에서는 개별 불확도(u_i(x)를 이용하여 합성 표준 불확도를 계산하는 방법에 있어서 마하수 및 받음각을 추정하는 과정이 Eq. 7과 같은 해석적인 함수의 이용에 적합하지 않기 때문에 몬테카를로 시뮬레이션 기법을 적용하였다.

몬테카를로 시뮬레이션을 적용하기 위한 각 측정센서의 확률적 특성은 Table 2에 정의된 특성을 이용하였고, 시뮬레이션을 통해 획득한 공기량 추정오차의 별도의 증명과정 없이 정규분포 함수로 근사하여 추정 오차의 평균과 분산을 획득하였다.

4.4 시뮬레이션 조건

시뮬레이션은 측정 변수의 시스템 오차 특성을 살펴보기 위하여, 시스템의 구성의 복잡성 정도에 따라 모든 변수를 측정하는 경우(Case 1), 마하수, 받음각을 사용하지 않는 경우(Case 2), 전온도를 측정하지 않는 경우(Case 3)로 세 가지 조건을 선정하였고, 우연오차의 특성을 고려하여 Table 2에 있는 두 종의 센서 오차 크기를 고려하였다. 두 오차특성의 결합된 조건을 고려한 최종 시뮬레이션 조건을 정리하면 Table 4와 같다. 센서 오차는 작동압력 즉 비행조건에 따라 상대적인 크기에 영향을 받기 때문에 비행조건마다 오차특성이 다르게 나타날 수 있다. 따라서 Table 5와 같이 임의의 비행조건에 대해 계산을 수행하였다.

Table 4.

Simulation conditions

Table 5.

Flight simulation condition

4.5 시뮬레이션 결과

Fig. 4는 시뮬레이션 조건 C1에 대하여 비행조건 1에 대해 공기유량 추정오차의 시뮬레이션 결과로써 정규분포로 근사화한 함수와 함께 도시하였다. 추정오차는 센서 오차와 유사하게 정규분포 함수의 형태를 보유하고 있는 것으로 나타났다. 각 시뮬레이션 조건에 따라 다양한 비행 조건에서의 결과는 Fig. 5~10과 같다. 결과는 10,000번의 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 획득하였고, 이는 평균 추정 오차(Error), 오차의 표준편차(Std. deviation)를 나타내고 있다. 마하수 및 받음각을 추정하지 않는 Case 2에서는 마하수 3.0, 받음각 5.0 (deg)의 임의 추정 값을 사용하였으며, 전온도를 측정하지 않는 Case 3에서는 전온도 값을 770K로 설정하여 도출한 결과이다.

Fig. 4

Approximation of mass estimation error

Fig. 5

Simulation results for condition C1

Fig. 6

Simulation results for condition C2

Fig. 7

Simulation results for condition C3

Fig. 8

Simulation results for condition C4

Fig. 9

Simulation results for condition C5

Fig. 10

Simulation results for condition C6

시뮬레이션 결과를 오차의 평균과 분산으로 정리하면 Table 6과 같다.

Table 6.

Simulation results of the estimation uncertainty

모든 변수를 측정하였을 때 모든 경우에서 1% 이내의 매우 좋은 추정 성능을 보였지만 마하수 및 받음각 추정을 하지 않았을 경우(P₀₂와 P₀₃를 측정하지 않는 경우)와 전온도를 측정하지 않았을 경우에는 각각 최대 15 % 및 25 %의 추정 오차를 유발하는 것으로 나타났다. 이러한 결과는 앞서 추정 오차 지배변수 평가를 통한 예상 경향과 일치했으며, 마하수 및 받음각 추정을 하지 않는 경우보다는 전온도를 측정하지 않는 경우가 큰 추정 오차 범위를 가지는 것으로 확인되었다. 측정 정보의 불확실성에 의한 추정 오차 불확도는 측정 오차가 작은 C4∼C6의 경우 C1∼C3의 대략 1/5 수준으로 나타났으며, 이는 Table 2에서 정의한 오차 수준의 비와 일치함을 알 수 있었다.